Номер 1.10, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.10. Найдите область определения и множество значений функции:

а) $y = x^2 - 4x + 4;$

б) $y = \frac{3}{x} - 5;$

в) $y = \frac{1}{2} - 2 \sin x;$

г) $y = 5 \cos \frac{x}{2}.$

а) $y = x^2 - 4x + 4$;

Область определения: Данная функция является квадратичной (многочленом второй степени). Многочлены определены для любых действительных значений аргумента $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Множество значений: Выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $(x-2)^2$. Таким образом, функцию можно записать в виде $y = (x-2)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-2)^2 \ge 0$ для любого $x$. Наименьшее значение, равное 0, функция принимает при $x=2$. Максимального значения не существует.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = \frac{3}{x} - 5$;

Область определения: Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \neq 0$.

Множество значений: Функция представляет собой гиперболу $y = \frac{3}{x}$, смещенную на 5 единиц вниз по оси ординат. Множество значений функции $y=\frac{3}{x}$ — это все действительные числа, кроме нуля. Соответственно, после сдвига на 5 вниз, множество значений будет состоять из всех действительных чисел, кроме $-5$. Алгебраически: выразим $x$ через $y$. Из $y = \frac{3}{x} - 5$ следует $y+5 = \frac{3}{x}$, откуда $x = \frac{3}{y+5}$. Это выражение определено для всех $y$, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль, то есть $y+5 \neq 0$, или $y \neq -5$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{2} - 2 \sin x$;

Область определения: Функция $\sin x$ определена для всех действительных чисел. Так как в выражении используются только умножение на число и сложение, которые не накладывают ограничений, область определения исходной функции — все действительные числа.

Множество значений: Множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$. Выполним преобразования, чтобы получить множество значений для $y$: 1. Умножим неравенство на $-2$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $1 \cdot (-2) \le -2\sin x \le -1 \cdot (-2)$, что равносильно $-2 \le -2\sin x \le 2$. 2. Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} - 2 \le \frac{1}{2} - 2\sin x \le \frac{1}{2} + 2$. 3. Вычисляем: $-\frac{3}{2} \le y \le \frac{5}{2}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [-\frac{3}{2}; \frac{5}{2}]$.

г) $y = 5 \cos\frac{x}{2}$;

Область определения: Функция косинус определена для любого действительного значения своего аргумента. Аргумент $\frac{x}{2}$ определен для любого $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа.

Множество значений: Множество значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos\frac{x}{2} \le 1$. Чтобы найти множество значений для $y$, умножим все части этого неравенства на 5: $5 \cdot (-1) \le 5\cos\frac{x}{2} \le 5 \cdot 1$, что дает $-5 \le y \le 5$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [-5; 5]$.