Номер 2.1, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.1. Используя график функции $y = x$, постройте в одной координатной плоскости графики функций $y = 3x$; $y = -2x$; $y = x + 2$; $y = -4x - 1$.

Все заданные функции вида $y = kx + b$ являются линейными, и их графики — это прямые линии. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. В задаче предлагается использовать в качестве основы график функции $y=x$. Это прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и точку (1, 1).

y = 3x;

Данный график можно получить из графика функции $y=x$ путем растяжения вдоль оси ординат (OY) в 3 раза. Это означает, что при том же значении $x$ значение $y$ будет в 3 раза больше. Возьмем две точки на исходном графике $y=x$, например, O(0, 0) и A(1, 1). Для графика $y=3x$ соответствующие точки будут O'(0, $3 \cdot 0$) = (0, 0) и A'(1, $3 \cdot 1$) = (1, 3). Соединив эти две точки, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = 3x$ — это прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, 3).

y = -2x;

График этой функции можно получить из графика $y=x$ путем растяжения вдоль оси OY в 2 раза с последующим симметричным отражением относительно оси абсцисс (OX). Каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике $y=x$ будет соответствовать точка $(x_0, -2y_0)$ на графике $y=-2x$. Возьмем точки O(0, 0) и A(1, 1) на прямой $y=x$. Для графика $y=-2x$ они преобразуются в точки O'(0, $-2 \cdot 0$) = (0, 0) и A'(1, $-2 \cdot 1$) = (1, -2). Проводим прямую через эти точки.

Ответ: График функции $y = -2x$ — это прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, -2).

y = x + 2;

Этот график получается из графика $y=x$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (OY). Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=x$ перемещается в точку $(x_0, y_0 + 2)$. Исходные точки O(0, 0) и A(1, 1) сдвигаются в точки O'(0, 0 + 2) = (0, 2) и A'(1, 1 + 2) = (1, 3). Полученная прямая будет параллельна прямой $y=x$.

Ответ: График функции $y = x + 2$ — это прямая, проходящая через точки (0, 2) и (1, 3).

y = -4x – 1;

Получение этого графика из $y=x$ требует нескольких преобразований: растяжение, отражение и сдвиг. Проще и нагляднее построить его по двум точкам. Найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой:

1. Если $x=0$, то $y = -4 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку (0, -1).

2. Если $x=-1$, то $y = -4 \cdot (-1) - 1 = 4 - 1 = 3$. Получаем точку (-1, 3).

Проводим прямую через найденные точки (0, -1) и (-1, 3).

Ответ: График функции $y = -4x - 1$ — это прямая, проходящая через точки (0, -1) и (-1, 3).