Номер 2.5, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.5. Постройте в одной координатной плоскости графики следующих функций, используя график функции $y = \sqrt{x}$:

а) $y = 2\sqrt{x} - \frac{1}{4}$;

б) $y = \sqrt{x} + \frac{1}{2}$;

в) $y = 3\sqrt{x} - 1$.

Для построения графиков заданных функций необходимо использовать график базовой функции $y = \sqrt{x}$ и применить к нему соответствующие геометрические преобразования. График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат $(0, 0)$ и проходящую через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

а) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{x} - \frac{1}{4}$ необходимо выполнить следующие преобразования с графиком функции $y = \sqrt{x}$:

1. Растянуть график $y = \sqrt{x}$ вдоль оси OY в 2 раза. Это преобразование соответствует умножению функции на 2, в результате чего получается график функции $y = 2\sqrt{x}$. Каждая ордината точки графика умножается на 2. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(1, 2)$, а точка $(4, 2)$ — в $(4, 4)$. Начальная точка $(0, 0)$ остается на месте.

2. Сдвинуть полученный график $y = 2\sqrt{x}$ на $\frac{1}{4}$ единицы вниз вдоль оси OY. Это преобразование соответствует вычитанию константы $\frac{1}{4}$. При этом каждая ордината точки графика уменьшается на $\frac{1}{4}$. Начальная точка графика из $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, -\frac{1}{4})$. Другие контрольные точки: $(1, 2)$ переходит в $(1, 2 - \frac{1}{4}) = (1, \frac{7}{4})$, а $(4, 4)$ — в $(4, 4 - \frac{1}{4}) = (4, \frac{15}{4})$.

Ответ: График функции $y = 2\sqrt{x} - \frac{1}{4}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем растяжения вдоль оси OY в 2 раза и последующего сдвига вниз на $\frac{1}{4}$ единицы.

б) Для построения графика функции $y = \sqrt{x + \frac{1}{2}}$ необходимо выполнить одно преобразование с графиком функции $y = \sqrt{x}$.

Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика $y = \sqrt{x}$ вдоль оси OX влево на $\frac{1}{2}$ единицы, так как к аргументу $x$ прибавляется положительная константа.

Ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ смещаются влево на $\frac{1}{2}$:

* Начальная точка $(0, 0)$ переходит в точку $(-\frac{1}{2}, 0)$.

* Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1 - \frac{1}{2}, 1) = (\frac{1}{2}, 1)$.

* Точка $(4, 2)$ переходит в точку $(4 - \frac{1}{2}, 2) = (3\frac{1}{2}, 2)$.

Область определения функции изменяется с $x \geq 0$ на $x + \frac{1}{2} \geq 0$, то есть $x \geq -\frac{1}{2}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x + \frac{1}{2}}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом влево вдоль оси OX на $\frac{1}{2}$ единицы.

в) График функции $y = 3\sqrt{x - 1}$ строится на основе графика $y=\sqrt{x}$ путем выполнения двух последовательных преобразований:

1. Сначала выполним параллельный перенос графика $y = \sqrt{x}$ вдоль оси OX на 1 единицу вправо. Это соответствует замене аргумента $x$ на $x-1$. Получим график промежуточной функции $y = \sqrt{x-1}$. Начальная точка $(0, 0)$ сместится в $(1, 0)$. Область определения станет $x \geq 1$.

2. Затем выполним растяжение полученного графика $y = \sqrt{x-1}$ вдоль оси OY в 3 раза. Получим искомый график $y = 3\sqrt{x-1}$. Координаты ключевых точек после двух преобразований:

* $(0, 0) \rightarrow (1, 0) \rightarrow (1, 3 \cdot 0) = (1, 0)$.

* $(1, 1) \rightarrow (1+1, 1) = (2, 1) \rightarrow (2, 3 \cdot 1) = (2, 3)$.

* $(4, 2) \rightarrow (4+1, 2) = (5, 2) \rightarrow (5, 3 \cdot 2) = (5, 6)$.

Начало искомого графика находится в точке $(1, 0)$.

Ответ: График функции $y = 3\sqrt{x-1}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом вправо на 1 единицу и последующим растяжением вдоль оси OY в 3 раза.