Номер 2.2, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.2. Постройте в одной координатной плоскости графики функций $y = -\frac{1}{x} + 1$; $y = -\frac{1}{x} + 1,5$; $y = \frac{1}{x+1} - 2$, используя график функции $y = \frac{1}{x}$.

Для построения заданных графиков мы будем использовать преобразования базового графика функции $y = \frac{1}{x}$. Этот график представляет собой гиперболу с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. Его асимптотами являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

$y = \frac{1}{x} + 1$

График этой функции получается из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вверх. Это преобразование вида $f(x) \to f(x) + c$.

При этом сдвиге горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 1 единицу вверх и становится прямой $y=1$. Вертикальная асимптота $x=0$ остается без изменений. Все точки графика $y = \frac{1}{x}$ смещаются на 1 единицу вверх. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, 1+1)=(1, 2)$, а точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1, -1+1)=(-1, 0)$. Ветви гиперболы располагаются так же, как и у исходной, но относительно новых асимптот.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x} + 1$ получается сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

$y = -\frac{1}{x} + 1,5$

Построение этого графика из графика $y = \frac{1}{x}$ выполняется в два этапа:

1. Сначала выполним преобразование $y = -\frac{1}{x}$. Оно соответствует симметричному отражению графика $y = \frac{1}{x}$ относительно оси абсцисс ($Ox$). Ветви гиперболы, которые были в I и III четвертях, теперь будут располагаться во II и IV четвертях. Асимптоты $x=0$ и $y=0$ при этом не меняются.

2. Затем выполним преобразование $y = (-\frac{1}{x}) + 1,5$. Это сдвиг полученного на первом шаге графика на 1,5 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

В результате этих преобразований вертикальная асимптота $x=0$ остается на месте, а горизонтальная асимптота $y=0$ сдвигается вверх на 1,5 и становится прямой $y=1,5$. Например, точка $(1, 1)$ с исходного графика сначала отражается в точку $(1, -1)$, а затем сдвигается в точку $(1, -1+1,5) = (1, 0,5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{x} + 1,5$ получается отражением графика $y = \frac{1}{x}$ относительно оси $Ox$ с последующим сдвигом на 1,5 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

$y = \frac{1}{x+1} - 2$

Построение этого графика из графика $y = \frac{1}{x}$ также выполняется в два этапа:

1. Сначала выполним преобразование $y = \frac{1}{x+1}$. Это преобразование вида $f(x) \to f(x+c)$, которое соответствует параллельному переносу графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс ($Ox$). При этом вертикальная асимптота $x=0$ смещается и становится прямой $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.

2. Затем выполним преобразование $y = (\frac{1}{x+1}) - 2$. Это сдвиг полученного на первом шаге графика на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$). При этом горизонтальная асимптота $y=0$ смещается и становится прямой $y=-2$. Вертикальная асимптота $x=-1$ не изменяется.

Таким образом, центр симметрии гиперболы из точки $(0,0)$ перемещается в точку $(-1, -2)$, а новыми асимптотами служат прямые $x=-1$ и $y=-2$. Например, точка $(1, 1)$ с исходного графика сначала сдвигается влево в точку $(1-1, 1)=(0, 1)$, а затем вниз в точку $(0, 1-2)=(0, -1)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x+1} - 2$ получается сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$ и на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.