Номер 2.7, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.7. Используя график функции $y = x^3$, постройте график функции

$y = f(x):$

a) $f(x) = x^3 + 4;$

б) $f(x) = -x^3 - 3;$

в) $f(x) = -2x^3 + 1;$

г) $f(x) = 2(x-1)^3 - 5.$

а) $f(x) = x^3 + 4;$

Для построения графика функции $f(x) = x^3 + 4$, мы используем график базовой функции $y = x^3$. Данное преобразование представляет собой сдвиг графика вверх.

1. Исходный график — это кубическая парабола $y = x^3$, проходящая через начало координат $(0,0)$, а также через точки $(1,1)$ и $(-1,-1)$.

2. Прибавление константы 4 к функции, то есть $x^3 \rightarrow x^3 + 4$, означает параллельный перенос (сдвиг) всего графика вдоль оси ординат ($Oy$) на 4 единицы вверх.

Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=x^3$ переместится в точку $(x_0, y_0+4)$. Центр симметрии графика сместится из точки $(0,0)$ в точку $(0,4)$.

Ответ: График функции $f(x) = x^3 + 4$ получается путем сдвига графика функции $y=x^3$ на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

б) $f(x) = -x^3 - 3;$

Для построения графика функции $f(x) = -x^3 - 3$ из графика $y = x^3$ нужно выполнить два последовательных преобразования.

1. Сначала преобразуем $y = x^3$ в $y = -x^3$. Умножение функции на -1 соответствует симметричному отражению ее графика относительно оси абсцисс ($Ox$). Точка $(1,1)$ перейдет в $(1,-1)$, а точка $(-1,-1)$ перейдет в $(-1,1)$. График теперь будет убывающим.

2. Затем преобразуем $y = -x^3$ в $y = -x^3 - 3$. Вычитание константы 3 означает сдвиг графика, полученного на предыдущем шаге, на 3 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

Центр симметрии из $(0,0)$ после отражения остается на месте, а после сдвига перемещается в точку $(0,-3)$.

Ответ: График функции $f(x) = -x^3 - 3$ получается путем отражения графика функции $y=x^3$ относительно оси $Ox$ и последующего сдвига полученного графика на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

в) $f(x) = -2x^3 + 1;$

Для построения графика функции $f(x) = -2x^3 + 1$ из графика $y = x^3$ нужно выполнить три последовательных преобразования.

1. Преобразование $y = x^3 \rightarrow y = 2x^3$. Умножение на коэффициент 2, который больше 1, означает растяжение графика вдоль оси ординат ($Oy$) в 2 раза. Точка $(1,1)$ перейдет в $(1,2)$, а $(-1,-1)$ в $(-1,-2)$.

2. Преобразование $y = 2x^3 \rightarrow y = -2x^3$. Умножение на -1 означает отражение графика $y=2x^3$ относительно оси абсцисс ($Ox$).

3. Преобразование $y = -2x^3 \rightarrow y = -2x^3 + 1$. Прибавление 1 означает сдвиг полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

Центр симметрии $(0,0)$ при растяжении и отражении не меняет своего положения, а при сдвиге перемещается в точку $(0,1)$.

Ответ: График функции $f(x) = -2x^3 + 1$ получается путем растяжения графика $y=x^3$ в 2 раза вдоль оси $Oy$, последующего отражения относительно оси $Ox$ и сдвига на 1 единицу вверх.

г) $f(x) = 2(x - 1)^3 - 5.$

Для построения графика функции $f(x) = 2(x-1)^3 - 5$ из графика $y = x^3$ нужно выполнить три последовательных преобразования.

1. Преобразование $y = x^3 \rightarrow y = (x-1)^3$. Замена $x$ на $(x-1)$ означает сдвиг графика на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$). Центр симметрии смещается из $(0,0)$ в $(1,0)$.

2. Преобразование $y = (x-1)^3 \rightarrow y = 2(x-1)^3$. Умножение на коэффициент 2 означает растяжение сдвинутого графика вдоль оси ординат ($Oy$) в 2 раза.

3. Преобразование $y = 2(x-1)^3 \rightarrow y = 2(x-1)^3 - 5$. Вычитание 5 означает сдвиг полученного на втором шаге графика на 5 единиц вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

В результате всех преобразований центр симметрии из $(0,0)$ смещается в точку $(1, -5)$.

Ответ: График функции $f(x) = 2(x - 1)^3 - 5$ получается путем сдвига графика $y=x^3$ на 1 единицу вправо, затем растяжения в 2 раза вдоль оси $Oy$ и последующего сдвига на 5 единиц вниз.