Номер 1.9, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.9. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = 0,5 - \sqrt{x-3}$;

б) $f(x) = \sqrt{2x^2 - 7x + 5}$;

В) $f(x) = \frac{x+5}{16x^2 - 1}$;

Г) $f(x) = \frac{3}{x} - \frac{x+1}{4x^2 - 9}$.

а) Область определения функции $f(x) = 0,5 - \sqrt{x-3}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Запишем и решим соответствующее неравенство:

$x - 3 \ge 0$

$x \ge 3$

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные 3.

Ответ: $D(f) = [3; +\infty)$

б) Область определения функции $f(x) = \sqrt{2x^2 - 7x + 5}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим квадратное неравенство:

$2x^2 - 7x + 5 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$), ветви параболы $y = 2x^2 - 7x + 5$ направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 1] \cup [2,5; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 1] \cup [2,5; +\infty)$

в) Функция $f(x) = \frac{x+5}{16x^2-1}$ является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$16x^2 - 1 = 0$

$16x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{16}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{16}}$

$x_1 = \frac{1}{4}$, $x_2 = -\frac{1}{4}$

Область определения — все действительные числа, кроме $x = -0,25$ и $x = 0,25$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -0,25) \cup (-0,25; 0,25) \cup (0,25; +\infty)$

г) Функция $f(x) = \frac{3}{x} - \frac{x+1}{4x^2-9}$ представляет собой разность двух дробей. Область ее определения — это множество всех значений $x$, при которых знаменатели обеих дробей одновременно не равны нулю.

Рассмотрим оба знаменателя:

1. Для дроби $\frac{3}{x}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.

2. Для дроби $\frac{x+1}{4x^2-9}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$4x^2 - 9 \ne 0$

$4x^2 \ne 9$

$x^2 \ne \frac{9}{4}$

$x \ne \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$x \ne \pm\frac{3}{2}$, то есть $x \ne 1,5$ и $x \ne -1,5$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения функции — это все действительные числа, кроме -1,5, 0 и 1,5.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1,5) \cup (-1,5; 0) \cup (0; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$