Страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.4. Если $f(x) = -\frac{1}{3x} - x$ и $g(x) = \frac{3}{x} + x$, то найдите:

а) $f(1) + g(1) + g(-\frac{1}{3});$

б) $f(\frac{1}{2}) + g(-\frac{1}{5});$

в) $f(-2) - g(-3);$

г) $4f(2) + 3g(\frac{1}{9}).$

Даны функции $f(x) = -\frac{1}{3x} - x$ и $g(x) = \frac{3}{x} + x$.

а) Чтобы найти значение выражения $f(1) + g(1) + g(-\frac{1}{3})$, последовательно вычислим каждое слагаемое.

1. Вычислим $f(1)$, подставив $x=1$ в формулу для $f(x)$:

$f(1) = -\frac{1}{3 \cdot 1} - 1 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{4}{3}$.

2. Вычислим $g(1)$, подставив $x=1$ в формулу для $g(x)$:

$g(1) = \frac{3}{1} + 1 = 3 + 1 = 4$.

3. Вычислим $g(-\frac{1}{3})$, подставив $x = -\frac{1}{3}$ в формулу для $g(x)$:

$g(-\frac{1}{3}) = \frac{3}{-\frac{1}{3}} + (-\frac{1}{3}) = 3 \cdot (-3) - \frac{1}{3} = -9 - \frac{1}{3} = -\frac{27}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{28}{3}$.

4. Теперь сложим все полученные значения:

$f(1) + g(1) + g(-\frac{1}{3}) = -\frac{4}{3} + 4 + (-\frac{28}{3}) = -\frac{4}{3} + \frac{12}{3} - \frac{28}{3} = \frac{-4 + 12 - 28}{3} = \frac{8 - 28}{3} = -\frac{20}{3}$.

Ответ: $-\frac{20}{3}$.

б) Чтобы найти значение выражения $f(\frac{1}{2}) + g(-\frac{1}{5})$, вычислим каждое слагаемое.

1. Вычислим $f(\frac{1}{2})$, подставив $x = \frac{1}{2}$ в $f(x)$:

$f(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3 \cdot \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{7}{6}$.

2. Вычислим $g(-\frac{1}{5})$, подставив $x = -\frac{1}{5}$ в $g(x)$:

$g(-\frac{1}{5}) = \frac{3}{-\frac{1}{5}} + (-\frac{1}{5}) = 3 \cdot (-5) - \frac{1}{5} = -15 - \frac{1}{5} = -\frac{75}{5} - \frac{1}{5} = -\frac{76}{5}$.

3. Сложим полученные значения:

$f(\frac{1}{2}) + g(-\frac{1}{5}) = -\frac{7}{6} + (-\frac{76}{5}) = -\frac{7}{6} - \frac{76}{5} = -\frac{7 \cdot 5}{30} - \frac{76 \cdot 6}{30} = -\frac{35}{30} - \frac{456}{30} = -\frac{491}{30}$.

Ответ: $-\frac{491}{30}$.

в) Чтобы найти значение выражения $f(-2) - g(-3)$, вычислим значения функций.

1. Вычислим $f(-2)$, подставив $x = -2$ в $f(x)$:

$f(-2) = -\frac{1}{3(-2)} - (-2) = -\frac{1}{-6} + 2 = \frac{1}{6} + 2 = \frac{1}{6} + \frac{12}{6} = \frac{13}{6}$.

2. Вычислим $g(-3)$, подставив $x = -3$ в $g(x)$:

$g(-3) = \frac{3}{-3} + (-3) = -1 - 3 = -4$.

3. Теперь найдем разность:

$f(-2) - g(-3) = \frac{13}{6} - (-4) = \frac{13}{6} + 4 = \frac{13}{6} + \frac{24}{6} = \frac{37}{6}$.

Ответ: $\frac{37}{6}$.

г) Чтобы найти значение выражения $4f(2) + 3g(\frac{1}{9})$, вычислим $f(2)$ и $g(\frac{1}{9})$, а затем выполним указанные операции.

1. Вычислим $f(2)$, подставив $x = 2$ в $f(x)$:

$f(2) = -\frac{1}{3 \cdot 2} - 2 = -\frac{1}{6} - 2 = -\frac{1}{6} - \frac{12}{6} = -\frac{13}{6}$.

2. Вычислим $g(\frac{1}{9})$, подставив $x = \frac{1}{9}$ в $g(x)$:

$g(\frac{1}{9}) = \frac{3}{\frac{1}{9}} + \frac{1}{9} = 3 \cdot 9 + \frac{1}{9} = 27 + \frac{1}{9} = \frac{243}{9} + \frac{1}{9} = \frac{244}{9}$.

3. Теперь вычислим итоговое выражение:

$4f(2) + 3g(\frac{1}{9}) = 4 \cdot (-\frac{13}{6}) + 3 \cdot (\frac{244}{9}) = -\frac{52}{6} + \frac{244}{3} = -\frac{26}{3} + \frac{244}{3} = \frac{244 - 26}{3} = \frac{218}{3}$.

Ответ: $\frac{218}{3}$.

1.5. Какие кривые, данные на рисунке 4, не являются графиками функций?

a)

б)

в)

г)

Рис. 4

По определению, функция — это правило, согласно которому каждому элементу $x$ из множества определения (области определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$.

Чтобы определить, является ли кривая графиком функции, можно использовать тест вертикальной прямой. Если любая вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$, пересекает график не более чем в одной точке, то этот график является графиком функции. Если же найдется хотя бы одна вертикальная прямая, которая пересекает график более чем в одной точке, то эта кривая не является графиком функции.

Рассмотрим каждый случай:

а) На данном рисунке изображен график, похожий на функцию модуля $y = k|x|$ при $k>0$. Любая вертикальная прямая пересекает этот график ровно в одной точке. Следовательно, это график функции.

б) На этом рисунке можно провести вертикальную прямую (например, $x=1$), которая пересечет кривую в двух точках. Это означает, что одному значению аргумента $x$ соответствует два разных значения $y$, что противоречит определению функции. Следовательно, эта кривая не является графиком функции.

в) На рисунке изображена парабола с ветвями, направленными вниз. Это график квадратичной функции. Любая вертикальная прямая пересекает его ровно в одной точке. Следовательно, это график функции.

г) На этом рисунке изображена парабола с ветвями, направленными вправо. Любая вертикальная прямая, проведенная при $x>0$, пересечет кривую в двух точках (одна с положительной ординатой, другая с отрицательной). Уравнение такой кривой имеет вид $x=ay^2$ при $a>0$, откуда $y = \pm\sqrt{x/a}$. Так как одному значению $x$ соответствует два значения $y$, эта кривая не является графиком функции.

Ответ: Кривые, данные на рисунках б) и г), не являются графиками функций.

1.6. Дана функция $f(x) = x^2 - 3x + 4$. При каких значениях аргумента выполняется равенство:

а) $f(x) = 4;$

б) $f(x) = 9;$

в) $f(x) = 19;$

г) $f(x) = -11?$

Для решения задачи необходимо приравнять функцию $f(x) = x^2 - 3x + 4$ к заданным значениям и найти соответствующие значения аргумента $x$, решив полученные уравнения.

а) f(x) = 4;

Приравниваем функцию к 4:

$x^2 - 3x + 4 = 4$

Вычитаем 4 из обеих частей уравнения, чтобы получить неполное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x = 0$

Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Ответ: равенство выполняется при $x = 0$ и $x = 3$.

б) f(x) = 9;

Приравниваем функцию к 9:

$x^2 - 3x + 4 = 9$

Переносим 9 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 3x - 5 = 0$

Решаем уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Находим их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

Ответ: равенство выполняется при $x = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$ и $x = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$.

в) f(x) = 19;

Приравниваем функцию к 19:

$x^2 - 3x + 4 = 19$

Переносим 19 в левую часть:

$x^2 - 3x - 15 = 0$

Вычисляем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 9 + 60 = 69$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{69}}{2}$

Ответ: равенство выполняется при $x = \frac{3 - \sqrt{69}}{2}$ и $x = \frac{3 + \sqrt{69}}{2}$.

г) f(x) = -11;

Приравниваем функцию к -11:

$x^2 - 3x + 4 = -11$

Переносим -11 в левую часть:

$x^2 - 3x + 15 = 0$

Вычисляем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 9 - 60 = -51$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует таких действительных значений аргумента $x$, при которых значение функции равно -11.

Ответ: нет таких значений аргумента.

1.7. Функция задана формулой $f(x) = x^2 - 5x + 2$. Докажите справедливость равенств: $f(2) = -4$ и $f(-1) = 8$.

Для доказательства справедливости равенств, необходимо подставить аргументы $x=2$ и $x=-1$ в формулу функции $f(x) = x^2 - 5x + 2$ и проверить, совпадают ли полученные результаты с теми, что указаны в задании.

Доказательство равенства f(2) = -4

Подставим значение $x=2$ в формулу функции:

$f(2) = (2)^2 - 5 \cdot 2 + 2$

Выполним вычисления:

$f(2) = 4 - 10 + 2 = -4$

Результат вычислений совпадает с равенством из условия. Таким образом, равенство $f(2) = -4$ является справедливым.

Ответ: Справедливость равенства $f(2)=-4$ доказана.

Доказательство равенства f(-1) = 8

Подставим значение $x=-1$ в формулу функции:

$f(-1) = (-1)^2 - 5 \cdot (-1) + 2$

Выполним вычисления:

$f(-1) = 1 + 5 + 2 = 8$

Результат вычислений совпадает с равенством из условия. Таким образом, равенство $f(-1) = 8$ является справедливым.

Ответ: Справедливость равенства $f(-1)=8$ доказана.

1.8. Найдите значение функции $y = g(x)$ в заданных точках:

а) $g(x) = x^2 - \frac{x+2}{x}; x_1 = -\frac{1}{4}; x_2 = 2; x_3 = 1,5;$

б) $g(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5}; x_1 = 4; x_2 = 2; x_3 = -1;$

в) $g(x) = 3 - \cos 2x; x_1 = \frac{\pi}{2}; x_2 = \frac{\pi}{4}; x_3 = -\frac{\pi}{4};$

г) $g(x) = \frac{2}{x^2} + 3x; x_1 = t; x_2 = t + 2; x_3 = \frac{2}{t}.$

а) Дана функция $g(x) = x^2 - \frac{x+2}{x}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_1 = -\frac{1}{4}$:

$g(-\frac{1}{4}) = (-\frac{1}{4})^2 - \frac{-\frac{1}{4} + 2}{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16} - \frac{\frac{7}{4}}{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16} - (-7) = \frac{1}{16} + 7 = \frac{1 + 112}{16} = \frac{113}{16}$.

2. Найдем значение функции в точке $x_2 = 2$:

$g(2) = 2^2 - \frac{2+2}{2} = 4 - \frac{4}{2} = 4 - 2 = 2$.

3. Найдем значение функции в точке $x_3 = 1,5$:

$g(1,5) = (1,5)^2 - \frac{1,5+2}{1,5} = 2,25 - \frac{3,5}{1,5} = \frac{9}{4} - \frac{7/2}{3/2} = \frac{9}{4} - \frac{7}{3} = \frac{27 - 28}{12} = -\frac{1}{12}$.

Ответ: $g(-\frac{1}{4}) = \frac{113}{16}$; $g(2) = 2$; $g(1,5) = -\frac{1}{12}$.

б) Дана функция $g(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_1 = 4$:

$g(4) = \sqrt{4^2 - 3 \cdot 4 + 5} = \sqrt{16 - 12 + 5} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$.

2. Найдем значение функции в точке $x_2 = 2$:

$g(2) = \sqrt{2^2 - 3 \cdot 2 + 5} = \sqrt{4 - 6 + 5} = \sqrt{-2 + 5} = \sqrt{3}$.

3. Найдем значение функции в точке $x_3 = -1$:

$g(-1) = \sqrt{(-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 5} = \sqrt{1 + 3 + 5} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $g(4) = 3$; $g(2) = \sqrt{3}$; $g(-1) = 3$.

в) Дана функция $g(x) = 3 - \cos(2x)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_1 = \frac{\pi}{2}$:

$g(\frac{\pi}{2}) = 3 - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 3 - \cos(\pi) = 3 - (-1) = 4$.

2. Найдем значение функции в точке $x_2 = \frac{\pi}{4}$:

$g(\frac{\pi}{4}) = 3 - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 3 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 3 - 0 = 3$.

3. Найдем значение функции в точке $x_3 = -\frac{\pi}{4}$:

$g(-\frac{\pi}{4}) = 3 - \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = 3 - \cos(-\frac{\pi}{2}) = 3 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 3 - 0 = 3$.

Ответ: $g(\frac{\pi}{2}) = 4$; $g(\frac{\pi}{4}) = 3$; $g(-\frac{\pi}{4}) = 3$.

г) Дана функция $g(x) = \frac{2}{x^2} + 3x$.

1. Найдем значение функции в точке $x_1 = t$:

$g(t) = \frac{2}{t^2} + 3t$.

2. Найдем значение функции в точке $x_2 = t + 2$:

$g(t+2) = \frac{2}{(t+2)^2} + 3(t+2) = \frac{2}{t^2 + 4t + 4} + 3t + 6$.

3. Найдем значение функции в точке $x_3 = \frac{2}{t}$:

$g(\frac{2}{t}) = \frac{2}{(\frac{2}{t})^2} + 3(\frac{2}{t}) = \frac{2}{\frac{4}{t^2}} + \frac{6}{t} = 2 \cdot \frac{t^2}{4} + \frac{6}{t} = \frac{t^2}{2} + \frac{6}{t}$.

Ответ: $g(t) = \frac{2}{t^2} + 3t$; $g(t+2) = \frac{2}{t^2 + 4t + 4} + 3t + 6$; $g(\frac{2}{t}) = \frac{t^2}{2} + \frac{6}{t}$.

1.9. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = 0,5 - \sqrt{x-3}$;

б) $f(x) = \sqrt{2x^2 - 7x + 5}$;

В) $f(x) = \frac{x+5}{16x^2 - 1}$;

Г) $f(x) = \frac{3}{x} - \frac{x+1}{4x^2 - 9}$.

а) Область определения функции $f(x) = 0,5 - \sqrt{x-3}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Запишем и решим соответствующее неравенство:

$x - 3 \ge 0$

$x \ge 3$

Следовательно, область определения функции — это все значения $x$, большие или равные 3.

Ответ: $D(f) = [3; +\infty)$

б) Область определения функции $f(x) = \sqrt{2x^2 - 7x + 5}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим квадратное неравенство:

$2x^2 - 7x + 5 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$), ветви параболы $y = 2x^2 - 7x + 5$ направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 1] \cup [2,5; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 1] \cup [2,5; +\infty)$

в) Функция $f(x) = \frac{x+5}{16x^2-1}$ является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$16x^2 - 1 = 0$

$16x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{16}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{16}}$

$x_1 = \frac{1}{4}$, $x_2 = -\frac{1}{4}$

Область определения — все действительные числа, кроме $x = -0,25$ и $x = 0,25$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -0,25) \cup (-0,25; 0,25) \cup (0,25; +\infty)$

г) Функция $f(x) = \frac{3}{x} - \frac{x+1}{4x^2-9}$ представляет собой разность двух дробей. Область ее определения — это множество всех значений $x$, при которых знаменатели обеих дробей одновременно не равны нулю.

Рассмотрим оба знаменателя:

1. Для дроби $\frac{3}{x}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.

2. Для дроби $\frac{x+1}{4x^2-9}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$4x^2 - 9 \ne 0$

$4x^2 \ne 9$

$x^2 \ne \frac{9}{4}$

$x \ne \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$x \ne \pm\frac{3}{2}$, то есть $x \ne 1,5$ и $x \ne -1,5$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения функции — это все действительные числа, кроме -1,5, 0 и 1,5.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1,5) \cup (-1,5; 0) \cup (0; 1,5) \cup (1,5; +\infty)$

1.10. Найдите область определения и множество значений функции:

а) $y = x^2 - 4x + 4;$

б) $y = \frac{3}{x} - 5;$

в) $y = \frac{1}{2} - 2 \sin x;$

г) $y = 5 \cos \frac{x}{2}.$

а) $y = x^2 - 4x + 4$;

Область определения: Данная функция является квадратичной (многочленом второй степени). Многочлены определены для любых действительных значений аргумента $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Множество значений: Выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $(x-2)^2$. Таким образом, функцию можно записать в виде $y = (x-2)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-2)^2 \ge 0$ для любого $x$. Наименьшее значение, равное 0, функция принимает при $x=2$. Максимального значения не существует.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = \frac{3}{x} - 5$;

Область определения: Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому $x \neq 0$.

Множество значений: Функция представляет собой гиперболу $y = \frac{3}{x}$, смещенную на 5 единиц вниз по оси ординат. Множество значений функции $y=\frac{3}{x}$ — это все действительные числа, кроме нуля. Соответственно, после сдвига на 5 вниз, множество значений будет состоять из всех действительных чисел, кроме $-5$. Алгебраически: выразим $x$ через $y$. Из $y = \frac{3}{x} - 5$ следует $y+5 = \frac{3}{x}$, откуда $x = \frac{3}{y+5}$. Это выражение определено для всех $y$, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль, то есть $y+5 \neq 0$, или $y \neq -5$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{2} - 2 \sin x$;

Область определения: Функция $\sin x$ определена для всех действительных чисел. Так как в выражении используются только умножение на число и сложение, которые не накладывают ограничений, область определения исходной функции — все действительные числа.

Множество значений: Множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$. Выполним преобразования, чтобы получить множество значений для $y$: 1. Умножим неравенство на $-2$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $1 \cdot (-2) \le -2\sin x \le -1 \cdot (-2)$, что равносильно $-2 \le -2\sin x \le 2$. 2. Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} - 2 \le \frac{1}{2} - 2\sin x \le \frac{1}{2} + 2$. 3. Вычисляем: $-\frac{3}{2} \le y \le \frac{5}{2}$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [-\frac{3}{2}; \frac{5}{2}]$.

г) $y = 5 \cos\frac{x}{2}$;

Область определения: Функция косинус определена для любого действительного значения своего аргумента. Аргумент $\frac{x}{2}$ определен для любого $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа.

Множество значений: Множество значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos\frac{x}{2} \le 1$. Чтобы найти множество значений для $y$, умножим все части этого неравенства на 5: $5 \cdot (-1) \le 5\cos\frac{x}{2} \le 5 \cdot 1$, что дает $-5 \le y \le 5$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, множество значений $E(y) = [-5; 5]$.

1.11. Даны функции $f(x) = \frac{3}{x} - 2x^2$ и $g(x) = \frac{4}{x} + 2$. Найдите:

а) $f(-3) + g(-2) + f(1);$

б) $f(0,5) - g(\frac{1}{4});$

в) $f(\frac{1}{2}) \cdot g(-2) - \frac{g(0,5)}{f(3)};$

г) $3f(a) + 4g(a).$

Даны функции $f(x) = \frac{3}{x} - 2x^2$ и $g(x) = \frac{4}{x} + 2$.

а) Чтобы найти значение выражения $f(-3) + g(-2) + f(1)$, сначала вычислим значение каждой функции в указанных точках.

1. $f(-3) = \frac{3}{-3} - 2(-3)^2 = -1 - 2 \cdot 9 = -1 - 18 = -19$.

2. $g(-2) = \frac{4}{-2} + 2 = -2 + 2 = 0$.

3. $f(1) = \frac{3}{1} - 2(1)^2 = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$f(-3) + g(-2) + f(1) = -19 + 0 + 1 = -18$.

Ответ: -18.

б) Найдем значение выражения $f(0,5) - g(\frac{1}{4})$.

1. Вычислим $f(0,5)$. Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2}$.

$f(0,5) = f(\frac{1}{2}) = \frac{3}{1/2} - 2(\frac{1}{2})^2 = 3 \cdot 2 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 6 - \frac{2}{4} = 6 - \frac{1}{2} = 5,5$.

2. Вычислим $g(\frac{1}{4})$.

$g(\frac{1}{4}) = \frac{4}{1/4} + 2 = 4 \cdot 4 + 2 = 16 + 2 = 18$.

Теперь вычтем второе значение из первого:

$f(0,5) - g(\frac{1}{4}) = 5,5 - 18 = -12,5$.

Ответ: -12,5.

в) Найдем значение выражения $f(\frac{1}{2}) \cdot g(-2) - \frac{g(0,5)}{f(3)}$.

Вычислим значения функций, входящих в выражение:

1. $f(\frac{1}{2}) = \frac{3}{1/2} - 2(\frac{1}{2})^2 = 6 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 6 - \frac{1}{2} = 5,5$.

2. $g(-2) = \frac{4}{-2} + 2 = -2 + 2 = 0$.

3. $g(0,5) = g(\frac{1}{2}) = \frac{4}{1/2} + 2 = 8 + 2 = 10$.

4. $f(3) = \frac{3}{3} - 2(3)^2 = 1 - 2 \cdot 9 = 1 - 18 = -17$.

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$f(\frac{1}{2}) \cdot g(-2) - \frac{g(0,5)}{f(3)} = 5,5 \cdot 0 - \frac{10}{-17} = 0 - (-\frac{10}{17}) = \frac{10}{17}$.

Ответ: $\frac{10}{17}$.

г) Найдем выражение для $3f(a) + 4g(a)$.

1. Сначала выразим $f(a)$ и $g(a)$, подставив $a$ вместо $x$ в формулы функций:

$f(a) = \frac{3}{a} - 2a^2$

$g(a) = \frac{4}{a} + 2$

2. Умножим $f(a)$ на 3:

$3f(a) = 3 \cdot (\frac{3}{a} - 2a^2) = \frac{9}{a} - 6a^2$.

3. Умножим $g(a)$ на 4:

$4g(a) = 4 \cdot (\frac{4}{a} + 2) = \frac{16}{a} + 8$.

4. Сложим полученные выражения и упростим:

$3f(a) + 4g(a) = (\frac{9}{a} - 6a^2) + (\frac{16}{a} + 8) = \frac{9}{a} + \frac{16}{a} - 6a^2 + 8 = \frac{25}{a} - 6a^2 + 8$.

Ответ: $\frac{25}{a} - 6a^2 + 8$.

1.12. Даны функции $f(x)=\frac{1+x}{x}+1$ и $g(x)=\frac{3x}{2-x}-4$. Сравните значения этих функций при $x = -1$:

а) $f(x) < g(x);$

б) $f(x) > g(x);$

в) $f(x) = g(x);$

г) $f(x) \le g(x).$

Чтобы сравнить значения функций $f(x) = \frac{1+x}{x} + 1$ и $g(x) = \frac{3x}{2-x} - 4$ при $x = -1$, необходимо подставить это значение в выражение для каждой функции и вычислить результат.

1. Вычислим значение функции $f(x)$ при $x = -1$:

$f(-1) = \frac{1 + (-1)}{-1} + 1 = \frac{0}{-1} + 1 = 0 + 1 = 1$.

2. Вычислим значение функции $g(x)$ при $x = -1$:

$g(-1) = \frac{3 \cdot (-1)}{2 - (-1)} - 4 = \frac{-3}{2 + 1} - 4 = \frac{-3}{3} - 4 = -1 - 4 = -5$.

3. Теперь сравним полученные значения:

$f(-1) = 1$

$g(-1) = -5$

Поскольку $1 > -5$, мы можем сделать вывод, что $f(-1) > g(-1)$.

Следовательно, верным является утверждение, представленное в пункте б).

Ответ: б) $f(x) > g(x)$

1.13. На рисунке 5 дан график функции $y = f(x)$. Найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) нули функции;

г) значения функций $f(-4)$, $f(0)$ и $f(4)$.

Рис. 5

а) область определения функции

Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента $x$ (абсциссы), при которых функция существует. Чтобы найти область определения по графику, нужно спроецировать все точки графика на ось $Ox$.

Левая крайняя точка графика имеет абсциссу $x = -4$. Правая крайняя точка графика имеет абсциссу $x = 4$. График представляет собой непрерывную линию между этими значениями.

Следовательно, область определения функции – это все значения $x$ от -4 до 4 включительно.

Ответ: $D(f) = [-4, 4]$.

б) множество значений функции

Множество значений функции – это множество всех значений $y$ (ординаты), которые принимает функция. Чтобы найти множество значений по графику, нужно спроецировать все точки графика на ось $Oy$.

Самая низкая точка графика имеет ординату $y = -1$ (при $x=0$). Самая высокая точка графика имеет ординату $y = 3$ (при $x=4$). Функция принимает все значения между этими двумя крайними точками.

Следовательно, множество значений функции – это все значения $y$ от -1 до 3 включительно.

Ответ: $E(f) = [-1, 3]$.

в) нули функции

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x)=0$. На графике это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$.

Из графика видно, что он пересекает ось абсцисс в трех точках.

1. Первая точка пересечения имеет абсциссу $x = -3$.

2. Вторая точка пересечения имеет абсциссу $x = 1$.

3. Третья точка пересечения находится на отрезке прямой, соединяющем точки $(-2, 2)$ и $(0, -1)$. Найдем уравнение этой прямой. Угловой коэффициент $k = \frac{-1-2}{0-(-2)} = -\frac{3}{2}$. Уравнение прямой, проходящей через точку $(0,-1)$, имеет вид $y = -\frac{3}{2}x - 1$. Чтобы найти нуль функции, решим уравнение $0 = -\frac{3}{2}x - 1$, откуда $\frac{3}{2}x = -1$, следовательно, $x = -\frac{2}{3}$.

Таким образом, у функции три нуля.

Ответ: $x = -3$, $x = -\frac{2}{3}$, $x = 1$.

г) значения функций $f(-4)$, $f(0)$ и $f(4)$

Чтобы найти значение функции в конкретной точке по графику, нужно найти точку на графике с заданной абсциссой и определить её ординату.

- Для нахождения $f(-4)$ смотрим на точку графика с абсциссой $x = -4$. Координаты этой точки $(-4, -2)$. Значит, $f(-4) = -2$.

- Для нахождения $f(0)$ смотрим на точку графика с абсциссой $x = 0$. Это точка пересечения графика с осью $Oy$, её координаты $(0, -1)$. Значит, $f(0) = -1$.

- Для нахождения $f(4)$ смотрим на точку графика с абсциссой $x = 4$. Координаты этой точки $(4, 3)$. Значит, $f(4) = 3$.

Ответ: $f(-4) = -2$, $f(0) = -1$, $f(4) = 3$.