Страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

23. Какой процент составляют числа, делящиеся на 3, от последовательности 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26:

A) 10%; B) 25%; C) 30%; D) 40%; E) 50%?

В представленной последовательности чисел 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26 всего 8 чисел.

Найдем среди них те, которые делятся на 3 без остатка. Это числа 21 (поскольку $21 \div 3 = 7$) и 24 (поскольку $24 \div 3 = 8$). Количество таких чисел равно 2.

Чтобы найти, какой процент эти числа составляют от всей последовательности, необходимо их количество (2) разделить на общее количество чисел в последовательности (8) и умножить результат на 100%.

Выполним вычисление:

$ \frac{2}{8} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\% $

Таким образом, числа, делящиеся на 3, составляют 25% от всей последовательности, что соответствует варианту B.

Ответ: B) 25%

24. Если $(a-b)^2 = 64$ и $ab = 33$, то найдите значение выражения $(a+b)^2$:

А) 169; В) 144; С) 180; D) 175; Е) 196.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности и квадратом суммы.

Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

По условию задачи нам даны два значения:

1. $(a-b)^2 = 64$

2. $ab = 33$

Нам нужно найти значение выражения $(a+b)^2$.

Свяжем выражения $(a+b)^2$ и $(a-b)^2$. Для этого преобразуем формулу для квадрата суммы, добавив и вычтя из нее $2ab$:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 4ab$

Мы видим, что выражение в скобках, $(a^2 - 2ab + b^2)$, является развернутой формой для $(a-b)^2$. Таким образом, мы можем записать:

$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$

Теперь подставим в это равенство известные нам из условия значения:

$(a+b)^2 = 64 + 4 \cdot 33$

Выполним вычисления:

$4 \cdot 33 = 132$

$(a+b)^2 = 64 + 132$

$(a+b)^2 = 196$

Ответ: 196.

25. Найдите наименьшее трехзначное число, которое при делении на 9 в остатке дает число 6.

A) 117;

B) 119;

C) 118;

D) 116;

E) 114.

Чтобы найти наименьшее трехзначное число из предложенных, которое при делении на 9 дает в остатке 6, мы можем проверить каждый вариант.

Число $N$, которое при делении на 9 дает в остатке 6, можно записать в виде формулы: $N = 9k + 6$, где $k$ – это целое число (неполное частное).

Самый удобный способ проверки — использовать свойство остатков при делении на 9: число дает такой же остаток при делении на 9, какой дает и сумма его цифр. Нам нужен остаток, равный 6.

Проверим поочередно все варианты:

A) 117;

Сумма цифр числа 117 равна $1 + 1 + 7 = 9$. При делении 9 на 9 остаток равен 0. Этот вариант не подходит.

B) 119;

Сумма цифр числа 119 равна $1 + 1 + 9 = 11$. При делении 11 на 9 остаток равен 2 (так как $11 = 9 \cdot 1 + 2$). Этот вариант не подходит.

C) 118;

Сумма цифр числа 118 равна $1 + 1 + 8 = 10$. При делении 10 на 9 остаток равен 1 (так как $10 = 9 \cdot 1 + 1$). Этот вариант не подходит.

D) 116;

Сумма цифр числа 116 равна $1 + 1 + 6 = 8$. При делении 8 на 9 остаток равен 8. Этот вариант не подходит.

E) 114.

Сумма цифр числа 114 равна $1 + 1 + 4 = 6$. При делении 6 на 9 остаток равен 6. Этот вариант подходит.

Таким образом, единственное число из предложенных, удовлетворяющее условию, — это 114. Оно и является искомым ответом.

Ответ: E) 114.

26. Числа в таблице 1 составлены по определенной закономерности. Найдите неизвестное число:

Таблица 1

2 6 66 5478

3 11 83 ?

A) 5627;

B) 5629;

C) 5637;

D) 5617;

E) 5619.

Для решения задачи необходимо определить закономерность, по которой составлены числа в таблице. Обозначим числа в верхней строке как $A_n$ и в нижней строке как $B_n$, где $n$ — номер столбца.

Данные таблицы:

$A_1 = 2$, $B_1 = 3$

$A_2 = 6$, $B_2 = 11$

$A_3 = 66$, $B_3 = 83$

$A_4 = 5478$, $B_4 = ?$

Проанализируем связь между числами. Сначала найдем закономерность для чисел в верхней строке ($A_n$).

1. Проверим, как $A_2$ связано с числами из первого столбца. Заметим, что произведение чисел первого столбца дает число $A_2$:

$A_2 = A_1 \times B_1 = 2 \times 3 = 6$.

2. Проверим эту гипотезу для следующего числа, $A_3$:

$A_3 = A_2 \times B_2 = 6 \times 11 = 66$.

3. Проверим для $A_4$:

$A_4 = A_3 \times B_3 = 66 \times 83 = 5478$.

Таким образом, мы установили первую закономерность: каждое следующее число в верхней строке равно произведению чисел из предыдущего столбца. Формула: $A_{n+1} = A_n \times B_n$.

Теперь найдем закономерность для чисел в нижней строке ($B_n$). Проанализируем, как каждое число $B_n$ связано с числами из текущего и предыдущего столбцов.

1. Рассмотрим $B_2 = 11$. Попробуем выразить его через $A_2=6$, $A_1=2$ и $B_1=3$.

Сложим эти три числа: $A_2 + A_1 + B_1 = 6 + 2 + 3 = 11$. Это совпадает со значением $B_2$.

2. Проверим эту гипотезу для $B_3 = 83$. Используем значения $A_3=66$, $A_2=6$ и $B_2=11$.

$A_3 + A_2 + B_2 = 66 + 6 + 11 = 83$. Это совпадает со значением $B_3$.

Таким образом, мы установили вторую закономерность: каждое число в нижней строке (начиная со второго) равно сумме числа над ним, а также двух чисел из предыдущего столбца. Формула: $B_{n+1} = A_{n+1} + A_n + B_n$.

Теперь мы можем найти неизвестное число $B_4$, используя установленную закономерность и известные значения из третьего и четвертого столбцов: $A_4 = 5478$, $A_3 = 66$, $B_3 = 83$.

Применяем формулу для $B_4$ (т.е. для $n=3$):

$B_4 = A_4 + A_3 + B_3$

Подставляем числовые значения:

$B_4 = 5478 + 66 + 83$

Выполняем сложение:

$5478 + 66 = 5544$

$5544 + 83 = 5627$

Следовательно, неизвестное число равно 5627. Это соответствует варианту A).

Ответ: 5627

27. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 6; 8; 1:
A) 8; B) 4; C) 10; D) 12; E) 6?

Для того чтобы составить трехзначное четное число из заданных цифр {6; 8; 1}, необходимо, чтобы число одновременно было трехзначным и четным.

Признак четности числа — его последняя цифра должна быть четной. В нашем наборе цифр {6; 8; 1} четными являются 6 и 8. Значит, на последнем месте (в разряде единиц) может стоять либо 6, либо 8.

В условии задачи не указано, могут ли цифры повторяться. Если предположить, что повторения разрешены, то количество комбинаций будет $3 \times 3 \times 2 = 18$. Так как этого варианта нет среди предложенных ответов, будем исходить из того, что цифры в числе не повторяются, то есть каждую цифру можно использовать только один раз.

Решение (без повторения цифр):

Мы составляем трехзначное число, где каждая из трех цифр {1, 6, 8} используется ровно один раз.

Разобьем решение на два случая в зависимости от того, какая цифра стоит на последнем месте.

1. Последняя цифра числа — 6.

Разряд единиц: 6 (1 вариант).

Для оставшихся двух разрядов (сотни и десятки) у нас есть цифры {1, 8}.

На место сотен можно поставить любую из этих двух цифр (2 варианта).

На место десятков останется только одна неиспользованная цифра (1 вариант).

Итого чисел, оканчивающихся на 6: $2 \times 1 \times 1 = 2$. Это числа 186 и 816.

2. Последняя цифра числа — 8.

Разряд единиц: 8 (1 вариант).

Для оставшихся двух разрядов у нас есть цифры {1, 6}.

На место сотен можно поставить любую из этих двух цифр (2 варианта).

На место десятков останется только одна неиспользованная цифра (1 вариант).

Итого чисел, оканчивающихся на 8: $2 \times 1 \times 1 = 2$. Это числа 168 и 618.

Чтобы найти общее количество возможных трехзначных четных чисел, сложим количество чисел из обоих случаев:

$2 + 2 = 4$.

Все возможные числа: 168, 186, 618, 816.

Ответ: 4.

28. Некоторые текущие расходы в течение месяца предприятия представлены в виде диаграммы (рис. 1). Общая сумма расходов составляет 3 000 000 тенге. Найдите расходы предприятия на коммунальные услуги:

Рис. 1

A) 150 050;

B) 150 150;

C) 150 000;

D) 150 200;

E) 150 300.

Для нахождения расходов предприятия на коммунальные услуги сначала определим их долю в процентах от общей суммы расходов. Полный круг диаграммы представляет 100%. Суммируем доли всех известных расходов, указанных на диаграмме:

Сумма известных долей = (заработная плата) + (прочие) + (реклама) + (налоги) + (страхование)

$45\% + 16\% + 5\% + 11\% + 8\% = 85\%$

Теперь можем найти долю расходов на коммунальные услуги, вычтя сумму известных долей из 100%:

$100\% - 85\% = 15\%$

Таким образом, расходы на коммунальные услуги составляют 15% от общей суммы расходов.

Далее рассчитаем сумму расходов на коммунальные услуги в денежном выражении. Общая сумма расходов составляет 3 000 000 тенге. Найдем 15% от этой суммы:

$3\,000\,000 \times \frac{15}{100} = 3\,000\,000 \times 0.15 = 450\,000 \text{ тенге.}$

Полученный результат (450 000 тенге) отсутствует среди предложенных вариантов ответа. Это указывает на возможную опечатку в условии задачи. Проанализируем предложенные варианты. Вариант ответа C) 150 000 тенге получился бы, если бы общая сумма расходов составляла 1 000 000 тенге, а не 3 000 000 тенге, так как:

$1\,000\,000 \times \frac{15}{100} = 150\,000 \text{ тенге.}$

Это предположение является наиболее логичным, поскольку вычисленная процентная доля в 15% визуально соответствует диаграмме (сектор "коммунальные услуги" заметно больше секторов "реклама" (5%), "страхование" (8%) и "налоги" (11%)). Следовательно, наиболее вероятна опечатка в общей сумме расходов.

Ответ: C) 150 000;