Страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Упростите выражение:

а) $\frac{3-2b}{a+b} : \frac{9b+9a}{4b^2-9} - \frac{6b}{2b+3}$;

б) $\frac{16a^2-25c^2}{ac+c^2} : \frac{5c-4a}{3c} + \frac{13a+14c}{a+c}$;

В) $(\frac{b+2}{b^2-3b+9} - \frac{6}{b^3+27}) : \frac{3b+15}{2b^2-6b+18}$;

Г) $(\frac{a-1}{a^2+2a+4} - \frac{2}{a^3-8}) : \frac{3-a}{a^2+2a+4}$;

Д) $\frac{2a+1}{a-7} + (\frac{a}{a+8} + \frac{a}{7-a}) : \frac{a}{8+a}$;

е) $(\frac{b}{2b-3} - \frac{b}{3+2b}) : \frac{b}{9+12b+4b^2} + \frac{45-6b}{3-2b}$;

ж) $25\sqrt{b} - 0.5\sqrt{4b} + 100\sqrt{0.16b}$;

3) $\sqrt{98a} + 3\sqrt{242a} - 17\sqrt{512a}$.

а) $\frac{3-2b}{a+b} \cdot \frac{9b+9a}{4b^2-9} - \frac{6b}{2b+3}$

Сначала упростим первое слагаемое. Разложим числитель второй дроби и знаменатель на множители: $9b+9a=9(a+b)$ и $4b^2-9=(2b-3)(2b+3)$. Также заметим, что $3-2b=-(2b-3)$.

$\frac{-(2b-3)}{a+b} \cdot \frac{9(a+b)}{(2b-3)(2b+3)} - \frac{6b}{2b+3}$

Сократим общие множители $(a+b)$ и $(2b-3)$:

$\frac{-1}{1} \cdot \frac{9}{2b+3} - \frac{6b}{2b+3} = -\frac{9}{2b+3} - \frac{6b}{2b+3}$

Теперь вычтем дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{-9-6b}{2b+3} = \frac{-3(3+2b)}{2b+3} = -3$

Ответ: $-3$

б) $\frac{16a^2 - 25c^2}{ac+c^2} : \frac{5c-4a}{3c} + \frac{13a+14c}{a+c}$

Выполним сначала деление. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби: $16a^2-25c^2=(4a-5c)(4a+5c)$ и $ac+c^2=c(a+c)$. Заметим, что $5c-4a=-(4a-5c)$. Деление заменяем на умножение на обратную дробь:

$\frac{(4a-5c)(4a+5c)}{c(a+c)} \cdot \frac{3c}{-(4a-5c)} + \frac{13a+14c}{a+c}$

Сократим общие множители $c$ и $(4a-5c)$:

$\frac{4a+5c}{a+c} \cdot \frac{3}{-1} + \frac{13a+14c}{a+c} = \frac{-3(4a+5c)}{a+c} + \frac{13a+14c}{a+c} = \frac{-12a-15c}{a+c} + \frac{13a+14c}{a+c}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{-12a-15c+13a+14c}{a+c} = \frac{a-c}{a+c}$

Ответ: $\frac{a-c}{a+c}$

в) $(\frac{b+2}{b^2-3b+9} - \frac{6}{b^3+27}) : \frac{3b+15}{2b^2-6b+18}$

Упростим выражение в скобках. Используем формулу суммы кубов: $b^3+27=b^3+3^3=(b+3)(b^2-3b+9)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(b+2)(b+3)}{(b+3)(b^2-3b+9)} - \frac{6}{(b+3)(b^2-3b+9)} = \frac{b^2+3b+2b+6-6}{(b+3)(b^2-3b+9)} = \frac{b^2+5b}{b^3+27} = \frac{b(b+5)}{b^3+27}$

Теперь выполним деление. Разложим на множители делитель: $3b+15=3(b+5)$ и $2b^2-6b+18=2(b^2-3b+9)$.

$\frac{b(b+5)}{b^3+27} : \frac{3(b+5)}{2(b^2-3b+9)} = \frac{b(b+5)}{(b+3)(b^2-3b+9)} \cdot \frac{2(b^2-3b+9)}{3(b+5)}$

Сократим общие множители $(b+5)$ и $(b^2-3b+9)$:

$\frac{b}{b+3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2b}{3(b+3)}$

Ответ: $\frac{2b}{3(b+3)}$

г) $(\frac{a-1}{a^2+2a+4} - \frac{2}{a^3-8}) : \frac{3-a}{a^2+2a+4}$

Упростим выражение в скобках, используя формулу разности кубов: $a^3-8=a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4)$.

$\frac{(a-1)(a-2)}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{2}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2-2a-a+2-2}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2-3a}{a^3-8} = \frac{a(a-3)}{a^3-8}$

Теперь выполним деление. Заметим, что $3-a=-(a-3)$.

$\frac{a(a-3)}{a^3-8} : \frac{-(a-3)}{a^2+2a+4} = \frac{a(a-3)}{(a-2)(a^2+2a+4)} \cdot \frac{a^2+2a+4}{-(a-3)}$

Сократим общие множители $(a-3)$ и $(a^2+2a+4)$:

$\frac{a}{a-2} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{a}{a-2}$

Ответ: $-\frac{a}{a-2}$

д) $\frac{2a+1}{a-7} + (\frac{a}{a+8} + \frac{a}{7-a}) : \frac{a}{8+a}$

Сначала выполним действия в скобках: $7-a=-(a-7)$.

$\frac{a}{a+8} + \frac{a}{-(a-7)} = \frac{a}{a+8} - \frac{a}{a-7} = \frac{a(a-7)-a(a+8)}{(a+8)(a-7)} = \frac{a^2-7a-a^2-8a}{(a+8)(a-7)} = \frac{-15a}{(a+8)(a-7)}$

Теперь выполним деление:

$\frac{-15a}{(a+8)(a-7)} : \frac{a}{a+8} = \frac{-15a}{(a+8)(a-7)} \cdot \frac{a+8}{a}$

Сократим общие множители $a$ и $(a+8)$: $\frac{-15}{a-7}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{2a+1}{a-7} + \frac{-15}{a-7} = \frac{2a+1-15}{a-7} = \frac{2a-14}{a-7} = \frac{2(a-7)}{a-7} = 2$

Ответ: $2$

е) $(\frac{b}{2b-3} - \frac{b}{3+2b}) : \frac{b}{9+12b+4b^2} + \frac{45-6b}{3-2b}$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{b}{2b-3} - \frac{b}{2b+3} = \frac{b(2b+3)-b(2b-3)}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{2b^2+3b-2b^2+3b}{4b^2-9} = \frac{6b}{4b^2-9}$

Теперь деление. Знаменатель делителя $9+12b+4b^2 = (3+2b)^2$.

$\frac{6b}{4b^2-9} : \frac{b}{(2b+3)^2} = \frac{6b}{(2b-3)(2b+3)} \cdot \frac{(2b+3)^2}{b}$

Сокращаем $b$ и $(2b+3)$: $\frac{6(2b+3)}{2b-3} = \frac{12b+18}{2b-3}$.

Теперь сложение. Заметим, что $3-2b=-(2b-3)$.

$\frac{12b+18}{2b-3} + \frac{45-6b}{-(2b-3)} = \frac{12b+18}{2b-3} - \frac{45-6b}{2b-3} = \frac{12b+18-(45-6b)}{2b-3} = \frac{12b+18-45+6b}{2b-3} = \frac{18b-27}{2b-3} = \frac{9(2b-3)}{2b-3} = 9$

Ответ: $9$

ж) $25\sqrt{b} - 0,5\sqrt{4b} + 100\sqrt{0,16b}$

Упростим каждое слагаемое, вынося множители из-под знака корня:

$25\sqrt{b} - 0,5\sqrt{4}\sqrt{b} + 100\sqrt{0,16}\sqrt{b} = 25\sqrt{b} - 0,5 \cdot 2\sqrt{b} + 100 \cdot 0,4\sqrt{b}$

$25\sqrt{b} - 1\sqrt{b} + 40\sqrt{b}$

Сложим коэффициенты при $\sqrt{b}$:

$(25 - 1 + 40)\sqrt{b} = 64\sqrt{b}$

Ответ: $64\sqrt{b}$

з) $\sqrt{98a} + 3\sqrt{242a} - 17\sqrt{512a}$

Упростим каждый корень, вынося из-под знака корня множители, являющиеся полными квадратами:

$\sqrt{49 \cdot 2a} + 3\sqrt{121 \cdot 2a} - 17\sqrt{256 \cdot 2a}$

$= \sqrt{49}\sqrt{2a} + 3\sqrt{121}\sqrt{2a} - 17\sqrt{256}\sqrt{2a}$

$= 7\sqrt{2a} + 3 \cdot 11\sqrt{2a} - 17 \cdot 16\sqrt{2a}$

$= 7\sqrt{2a} + 33\sqrt{2a} - 272\sqrt{2a}$

Приведем подобные слагаемые:

$(7 + 33 - 272)\sqrt{2a} = (40 - 272)\sqrt{2a} = -232\sqrt{2a}$

Ответ: $-232\sqrt{2a}$

2. Решите уравнение:

а) $(x - 4)^2 - 6 = (2 + x)^2;$

б) $(5 - y)^2 + 17 = (y - 3)^2;$

в) $10 + (3x - 1)^2 = 20 - 6x;$

г) $7x + x(x - 7) = (2x + 5)(5 - 2x);$

д) $(3x + 2)(4x - 1) - 12 = x(10 + 11x);$

е) $2y(3y - 4) + 24y = (7y - 3)(2 + y);$

ж) $x^2 - x + 2(x - 1)^2 = 3x - 2;$

з) $31 - 3x - x^2 = 20x + 7(x - 2)^2.$

а) $(x - 4)^2 - 6 = (2 + x)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 6 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2$

$x^2 - 8x + 16 - 6 = 4 + 4x + x^2$

$x^2 - 8x + 10 = 4 + 4x + x^2$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:

$x^2 - x^2 - 8x - 4x = 4 - 10$

Приведем подобные слагаемые:

$-12x = -6$

Разделим обе части на -12:

$x = \frac{-6}{-12}$

$x = 0.5$

Ответ: $x = 0.5$.

б) $(5 - y)^2 + 17 = (y - 3)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot y + y^2) + 17 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2$

$25 - 10y + y^2 + 17 = y^2 - 6y + 9$

$y^2 - 10y + 42 = y^2 - 6y + 9$

Перенесем все члены с переменной $y$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$y^2 - y^2 - 10y + 6y = 9 - 42$

Приведем подобные слагаемые:

$-4y = -33$

Разделим обе части на -4:

$y = \frac{-33}{-4}$

$y = 8.25$

Ответ: $y = 8.25$.

в) $10 + (3x - 1)^2 = 20 - 6x$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$10 + ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) = 20 - 6x$

$10 + 9x^2 - 6x + 1 = 20 - 6x$

$9x^2 - 6x + 11 = 20 - 6x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$9x^2 - 6x + 6x + 11 - 20 = 0$

$9x^2 - 9 = 0$

$9x^2 = 9$

$x^2 = 1$

$x_1 = 1, x_2 = -1$

Ответ: $x = \pm 1$.

г) $7x + x(x - 7) = (2x + 5)(5 - 2x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, заметив, что $(2x+5)(5-2x) = (5+2x)(5-2x)$:

$7x + x^2 - 7x = 5^2 - (2x)^2$

$x^2 = 25 - 4x^2$

Перенесем член с $x^2$ в левую часть:

$x^2 + 4x^2 = 25$

$5x^2 = 25$

$x^2 = 5$

$x = \pm \sqrt{5}$

Ответ: $x = \pm \sqrt{5}$.

д) $(3x + 2)(4x - 1) - 12 = x(10 + 11x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$(3x \cdot 4x - 3x \cdot 1 + 2 \cdot 4x - 2 \cdot 1) - 12 = 10x + 11x^2$

$12x^2 - 3x + 8x - 2 - 12 = 10x + 11x^2$

$12x^2 + 5x - 14 = 10x + 11x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$12x^2 - 11x^2 + 5x - 10x - 14 = 0$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -2$.

е) $2y(3y - 4) + 24y = (7y - 3)(2 + y)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6y^2 - 8y + 24y = 14y + 7y^2 - 6 - 3y$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$6y^2 + 16y = 7y^2 + 11y - 6$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 7y^2 - 6y^2 + 11y - 16y - 6$

$y^2 - 5y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 5, произведение равно -6. Корни: 6 и -1.

Или через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

$y = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}$

$y_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$y_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $y_1 = 6, y_2 = -1$.

ж) $x^2 - x + 2(x - 1)^2 = 3x - 2$

Раскроем скобки, начиная с квадрата разности:

$x^2 - x + 2(x^2 - 2x + 1) = 3x - 2$

$x^2 - x + 2x^2 - 4x + 2 = 3x - 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - 5x + 2 = 3x - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - 5x - 3x + 2 + 2 = 0$

$3x^2 - 8x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 4}{6}$

$x_1 = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = \frac{2}{3}$.

з) $31 - 3x - x^2 = 20x + 7(x - 2)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$31 - 3x - x^2 = 20x + 7(x^2 - 4x + 4)$

$31 - 3x - x^2 = 20x + 7x^2 - 28x + 28$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$31 - 3x - x^2 = 7x^2 - 8x + 28$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = 7x^2 + x^2 - 8x + 3x + 28 - 31$

$8x^2 - 5x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 25 + 96 = 121$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{5 \pm 11}{16}$

$x_1 = \frac{5 + 11}{16} = \frac{16}{16} = 1$

$x_2 = \frac{5 - 11}{16} = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8}$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{3}{8}$.

3. Найдите корни уравнения:

а) $\frac{3}{x+7} = \frac{2}{9-x}$;

б) $\frac{x+5}{3} = \frac{5}{3+x}$;

В) $\frac{x+1}{x-2} = \frac{2+x}{1+x}$;

Г) $\frac{x}{x-3} - \frac{4}{3-x} = 0$;

Д) $\frac{x}{x-5} + \frac{6}{25-x^2} = 0$;

е) $\frac{x}{4+x} + \frac{x}{5-x} = \frac{x^2}{x-5}$;

Ж) $\frac{6}{x^2-4} - \frac{3}{x-2} = \frac{1}{x+2}$.

а) $\frac{3}{x+7} = \frac{2}{9-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x + 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$

$9 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 9$

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3 \cdot (9-x) = 2 \cdot (x+7)$

Раскроем скобки:

$27 - 3x = 2x + 14$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$27 - 14 = 2x + 3x$

$13 = 5x$

$x = \frac{13}{5} = 2.6$

Полученный корень $x=2.6$ входит в область допустимых значений, так как $2.6 \neq -7$ и $2.6 \neq 9$.

Ответ: 2.6

б) $\frac{x+5}{3} = \frac{5}{3+x}$

ОДЗ: $3+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Используем перекрестное умножение:

$(x+5)(3+x) = 3 \cdot 5$

$x^2 + 3x + 5x + 15 = 15$

$x^2 + 8x + 15 - 15 = 0$

$x^2 + 8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x+8=0 \Rightarrow x_2 = -8$

Оба корня, $0$ и $-8$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).

Ответ: -8; 0.

в) $\frac{x+1}{x-2} = \frac{2+x}{1+x}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $1+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

Используем перекрестное умножение:

$(x+1)(1+x) = (x-2)(2+x)$

Применим формулы сокращенного умножения: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(x+1)^2 = (x-2)(x+2)$

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 4$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$2x + 1 = -4$

$2x = -4 - 1$

$2x = -5$

$x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Корень $x = -2.5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -1$).

Ответ: -2.5

г) $\frac{x}{x-3} - \frac{4}{3-x} = 0$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Подставим это в уравнение:

$\frac{x}{x-3} - \frac{4}{-(x-3)} = 0$

$\frac{x}{x-3} + \frac{4}{x-3} = 0$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{x+4}{x-3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Проверяем, что корень удовлетворяет ОДЗ: $-4 \neq 3$.

Ответ: -4

д) $\frac{x}{x-5} + \frac{6}{25-x^2} = 0$

ОДЗ: $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ и $25-x^2 \neq 0 \Rightarrow (5-x)(5+x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 5$.

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $25-x^2 = -(x^2-25) = -(x-5)(x+5)$.

$\frac{x}{x-5} - \frac{6}{(x-5)(x+5)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-5)(x+5)$:

$\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{6}{(x-5)(x+5)} = 0$

$\frac{x(x+5) - 6}{(x-5)(x+5)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$x(x+5) - 6 = 0$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-5$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 5$).

Ответ: -6; 1.

е) $\frac{x}{4+x} + \frac{x}{5-x} = \frac{x^2}{x-5}$

ОДЗ: $4+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$ и $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.

Преобразуем уравнение, учитывая что $5-x = -(x-5)$:

$\frac{x}{4+x} - \frac{x}{x-5} = \frac{x^2}{x-5}$

Перенесем член $\frac{x}{x-5}$ в правую часть:

$\frac{x}{x+4} = \frac{x^2}{x-5} + \frac{x}{x-5}$

$\frac{x}{x+4} = \frac{x^2+x}{x-5}$

$\frac{x}{x+4} = \frac{x(x+1)}{x-5}$

Рассмотрим два случая.Случай 1: $x = 0$. Подстановка в уравнение дает $\frac{0}{4} = \frac{0}{ -5}$, то есть $0=0$. Следовательно, $x=0$ является корнем.Случай 2: $x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $x$:

$\frac{1}{x+4} = \frac{x+1}{x-5}$

Применим перекрестное умножение:

$1 \cdot (x-5) = (x+1)(x+4)$

$x-5 = x^2 + 4x + x + 4$

$x-5 = x^2 + 5x + 4$

$x^2 + 4x + 9 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Единственный корень исходного уравнения — $x=0$, который удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 0

ж) $\frac{6}{x^2-4} - \frac{3}{x-2} = \frac{1}{x+2}$

ОДЗ: $x^2-4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$.

Разложим знаменатель первой дроби: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Это будет общий знаменатель.

$\frac{6}{(x-2)(x+2)} - \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{1(x-2)}{(x+2)(x-2)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$ (он не равен нулю в ОДЗ) и получим уравнение для числителей:

$6 - 3(x+2) = 1(x-2)$

$6 - 3x - 6 = x - 2$

$-3x = x - 2$

$2 = x + 3x$

$2 = 4x$

$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

Корень $x = 0.5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Ответ: 0.5

4. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x+y=7, \\ x^2-9y=7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x-y=-1, \\ 5x-y^2=-4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy=12, \\ \frac{3}{x}-\frac{1}{y}=\frac{5}{12}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy=2,5, \\ \frac{15}{x}-\frac{1}{y}=1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = 7, \\x^2 - 9y = 7;\end{cases}$

Это система, состоящая из одного линейного и одного нелинейного уравнения. Для ее решения удобно использовать метод подстановки.

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 7 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - 9(7 - x) = 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 63 + 9x = 7$

$x^2 + 9x - 63 - 7 = 0$

$x^2 + 9x - 70 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361 = 19^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 19}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 19}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 7 - x$:

При $x_1 = -14$:

$y_1 = 7 - (-14) = 7 + 14 = 21$

При $x_2 = 5$:

$y_2 = 7 - 5 = 2$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-14, 21)$, $(5, 2)$.

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases}2x - y = -1, \\5x - y^2 = -4;\end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 2x + 1$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$5x - (2x + 1)^2 = -4$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$5x - (4x^2 + 4x + 1) = -4$

$5x - 4x^2 - 4x - 1 = -4$

$-4x^2 + x - 1 + 4 = 0$

$-4x^2 + x + 3 = 0$

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$4x^2 - x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2x + 1$:

При $x_1 = -\frac{3}{4}$:

$y_1 = 2 \cdot (-\frac{3}{4}) + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$

При $x_2 = 1$:

$y_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

Система имеет два решения.

Ответ: $(-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2})$, $(1, 3)$.

в)

Дана система уравнений:$\begin{cases}xy = 12, \\\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = \frac{5}{12};\end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{12}{x}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{12/x} = \frac{5}{12}$

$\frac{3}{x} - \frac{x}{12} = \frac{5}{12}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $12x$:

$12x \cdot \frac{3}{x} - 12x \cdot \frac{x}{12} = 12x \cdot \frac{5}{12}$

$36 - x^2 = 5x$

$x^2 + 5x - 36 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней.

Корни: $x_1 = -9$, $x_2 = 4$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{12}{x}$:

При $x_1 = -9$:

$y_1 = \frac{12}{-9} = -\frac{4}{3}$

При $x_2 = 4$:

$y_2 = \frac{12}{4} = 3$

Система имеет два решения.

Ответ: $(-9, -\frac{4}{3})$, $(4, 3)$.

г)

Дана система уравнений:$\begin{cases}xy = 2,5, \\\frac{15}{x} - \frac{1}{y} = 1.\end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$. Представим $2,5$ в виде дроби $\frac{5}{2}$.

$xy = \frac{5}{2}$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = \frac{5}{2x}$

Подставим во второе уравнение:

$\frac{15}{x} - \frac{1}{5/(2x)} = 1$

$\frac{15}{x} - \frac{2x}{5} = 1$

Умножим обе части на общий знаменатель $5x$:

$5x \cdot \frac{15}{x} - 5x \cdot \frac{2x}{5} = 5x \cdot 1$

$75 - 2x^2 = 5x$

$2x^2 + 5x - 75 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-75) = 25 + 600 = 625 = 25^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{-30}{4} = -\frac{15}{2} = -7,5$

$x_2 = \frac{-5 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{5}{2x}$:

При $x_1 = -\frac{15}{2}$:

$y_1 = \frac{5}{2 \cdot (-\frac{15}{2})} = \frac{5}{-15} = -\frac{1}{3}$

При $x_2 = 5$:

$y_2 = \frac{5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0,5$

Система имеет два решения.

Ответ: $(-7,5, -\frac{1}{3})$, $(5, 0,5)$.

5. Решите графическим способом систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 2, \\ y = x^2 + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x + y = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4x - y = 1, \\ y = \frac{3}{x}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = \frac{1}{3}. \end{cases}$

а) Для решения системы $ \begin{cases} x + y = 2 \\ y = x^2 + 1 \end{cases} $ графическим способом, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Первое уравнение, $x + y = 2$, можно переписать в виде $y = -x + 2$. Это уравнение прямой линии. Для её построения достаточно двух точек. Например, если $x=0$, то $y=2$ (точка $(0, 2)$), и если $x=2$, то $y=0$ (точка $(2, 0)$).

2. Второе уравнение, $y = x^2 + 1$, задает параболу. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY. Её вершина находится в точке $(0, 1)$, а ветви направлены вверх. Другие точки на параболе: $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(2, 5)$, $(-2, 5)$.

3. Решениями системы являются координаты точек пересечения графиков. Построив графики, мы увидим две точки пересечения. Для нахождения точных координат решим систему аналитически, приравняв выражения для $y$:

$x^2 + 1 = -x + 2$

$x^2 + x - 1 = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = -x + 2$:

Если $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, то $y_1 = -(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}) + 2 = \frac{1 - \sqrt{5} + 4}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$.

Если $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$, то $y_2 = -(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}) + 2 = \frac{1 + \sqrt{5} + 4}{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$.

Точки пересечения имеют иррациональные координаты, которые на графике можно определить лишь приблизительно.

Ответ: $(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - \sqrt{5}}{2})$, $(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$.

б) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 4 \end{cases} $ графическим способом, построим графики каждого уравнения.

1. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 10$, — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3.16$.

2. Второе уравнение, $x + y = 4$, можно переписать как $y = 4 - x$. Это уравнение прямой линии. Для её построения возьмем точки: если $x=0$, то $y=4$ (точка $(0, 4)$), и если $x=4$, то $y=0$ (точка $(4, 0)$).

3. Решениями системы являются координаты точек пересечения окружности и прямой. Начертив графики, можно увидеть две точки пересечения с целочисленными координатами. Это точки $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Проверим эти точки, подставив их координаты в оба уравнения:

Для точки $(1, 3)$: $1^2 + 3^2 = 1+9=10$ (верно) и $1+3=4$ (верно).

Для точки $(3, 1)$: $3^2 + 1^2 = 9+1=10$ (верно) и $3+1=4$ (верно).

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$.

в) Для решения системы $ \begin{cases} 4x - y = 1 \\ y = \frac{3}{x} \end{cases} $ графическим способом, построим графики.

1. Первое уравнение, $4x - y = 1$, или $y = 4x - 1$, является уравнением прямой. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$ (точка $(0, -1)$), и если $x=1$, то $y=3$ (точка $(1, 3)$).

2. Второе уравнение, $y = \frac{3}{x}$, задает гиперболу, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Оси координат являются асимптотами. Точки на гиперболе: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

3. Решения системы — это координаты точек пересечения прямой и гиперболы. Построив графики, мы находим две точки пересечения. Одна из них легко определяется по графику: $(1, 3)$. Для нахождения второй точки решим систему аналитически:

$4x - 1 = \frac{3}{x}$

$4x^2 - x = 3$

$4x^2 - x - 3 = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(4)(-3)}}{2(4)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+48}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{1 \pm 7}{8}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{1+7}{8} = 1$ и $x_2 = \frac{1-7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Соответствующие значения $y$:

Если $x_1=1$, то $y_1 = \frac{3}{1} = 3$.

Если $x_2=-\frac{3}{4}$, то $y_2 = \frac{3}{-3/4} = -4$.

Таким образом, точки пересечения: $(1, 3)$ и $(-\frac{3}{4}, -4)$.

Ответ: $(1, 3)$, $(-\frac{3}{4}, -4)$.

г) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = \frac{1}{3} \end{cases} $ графическим способом, построим графики.

1. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 9$, — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

2. Второе уравнение, $y = \frac{1}{3}$, задает горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, \frac{1}{3})$ параллельно оси OX.

3. Решениями системы являются координаты точек пересечения окружности и прямой. Так как прямая $y=\frac{1}{3}$ проходит внутри окружности (поскольку $-3 < \frac{1}{3} < 3$), будет две точки пересечения, симметричные относительно оси OY.

Для нахождения точных координат подставим $y=\frac{1}{3}$ в уравнение окружности:

$x^2 + (\frac{1}{3})^2 = 9$

$x^2 + \frac{1}{9} = 9$

$x^2 = 9 - \frac{1}{9} = \frac{81-1}{9} = \frac{80}{9}$

$x = \pm\sqrt{\frac{80}{9}} = \pm\frac{\sqrt{16 \cdot 5}}{3} = \pm\frac{4\sqrt{5}}{3}$.

Точки пересечения имеют координаты $(\frac{4\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$ и $(-\frac{4\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.

Ответ: $(\frac{4\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$, $(-\frac{4\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.