Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2. Решите уравнение:

а) $(x - 4)^2 - 6 = (2 + x)^2;$

б) $(5 - y)^2 + 17 = (y - 3)^2;$

в) $10 + (3x - 1)^2 = 20 - 6x;$

г) $7x + x(x - 7) = (2x + 5)(5 - 2x);$

д) $(3x + 2)(4x - 1) - 12 = x(10 + 11x);$

е) $2y(3y - 4) + 24y = (7y - 3)(2 + y);$

ж) $x^2 - x + 2(x - 1)^2 = 3x - 2;$

з) $31 - 3x - x^2 = 20x + 7(x - 2)^2.$

а) $(x - 4)^2 - 6 = (2 + x)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 6 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2$

$x^2 - 8x + 16 - 6 = 4 + 4x + x^2$

$x^2 - 8x + 10 = 4 + 4x + x^2$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:

$x^2 - x^2 - 8x - 4x = 4 - 10$

Приведем подобные слагаемые:

$-12x = -6$

Разделим обе части на -12:

$x = \frac{-6}{-12}$

$x = 0.5$

Ответ: $x = 0.5$.

б) $(5 - y)^2 + 17 = (y - 3)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot y + y^2) + 17 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2$

$25 - 10y + y^2 + 17 = y^2 - 6y + 9$

$y^2 - 10y + 42 = y^2 - 6y + 9$

Перенесем все члены с переменной $y$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$y^2 - y^2 - 10y + 6y = 9 - 42$

Приведем подобные слагаемые:

$-4y = -33$

Разделим обе части на -4:

$y = \frac{-33}{-4}$

$y = 8.25$

Ответ: $y = 8.25$.

в) $10 + (3x - 1)^2 = 20 - 6x$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$10 + ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) = 20 - 6x$

$10 + 9x^2 - 6x + 1 = 20 - 6x$

$9x^2 - 6x + 11 = 20 - 6x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$9x^2 - 6x + 6x + 11 - 20 = 0$

$9x^2 - 9 = 0$

$9x^2 = 9$

$x^2 = 1$

$x_1 = 1, x_2 = -1$

Ответ: $x = \pm 1$.

г) $7x + x(x - 7) = (2x + 5)(5 - 2x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, заметив, что $(2x+5)(5-2x) = (5+2x)(5-2x)$:

$7x + x^2 - 7x = 5^2 - (2x)^2$

$x^2 = 25 - 4x^2$

Перенесем член с $x^2$ в левую часть:

$x^2 + 4x^2 = 25$

$5x^2 = 25$

$x^2 = 5$

$x = \pm \sqrt{5}$

Ответ: $x = \pm \sqrt{5}$.

д) $(3x + 2)(4x - 1) - 12 = x(10 + 11x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$(3x \cdot 4x - 3x \cdot 1 + 2 \cdot 4x - 2 \cdot 1) - 12 = 10x + 11x^2$

$12x^2 - 3x + 8x - 2 - 12 = 10x + 11x^2$

$12x^2 + 5x - 14 = 10x + 11x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$12x^2 - 11x^2 + 5x - 10x - 14 = 0$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -2$.

е) $2y(3y - 4) + 24y = (7y - 3)(2 + y)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6y^2 - 8y + 24y = 14y + 7y^2 - 6 - 3y$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$6y^2 + 16y = 7y^2 + 11y - 6$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 7y^2 - 6y^2 + 11y - 16y - 6$

$y^2 - 5y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 5, произведение равно -6. Корни: 6 и -1.

Или через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

$y = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}$

$y_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$y_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $y_1 = 6, y_2 = -1$.

ж) $x^2 - x + 2(x - 1)^2 = 3x - 2$

Раскроем скобки, начиная с квадрата разности:

$x^2 - x + 2(x^2 - 2x + 1) = 3x - 2$

$x^2 - x + 2x^2 - 4x + 2 = 3x - 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - 5x + 2 = 3x - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - 5x - 3x + 2 + 2 = 0$

$3x^2 - 8x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 4}{6}$

$x_1 = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = \frac{2}{3}$.

з) $31 - 3x - x^2 = 20x + 7(x - 2)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$31 - 3x - x^2 = 20x + 7(x^2 - 4x + 4)$

$31 - 3x - x^2 = 20x + 7x^2 - 28x + 28$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$31 - 3x - x^2 = 7x^2 - 8x + 28$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = 7x^2 + x^2 - 8x + 3x + 28 - 31$

$8x^2 - 5x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 25 + 96 = 121$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{5 \pm 11}{16}$

$x_1 = \frac{5 + 11}{16} = \frac{16}{16} = 1$

$x_2 = \frac{5 - 11}{16} = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8}$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{3}{8}$.