Номер 5, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5. Решите графическим способом систему уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 2, \\ y = x^2 + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x + y = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4x - y = 1, \\ y = \frac{3}{x}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = \frac{1}{3}. \end{cases}$

а) Для решения системы $ \begin{cases} x + y = 2 \\ y = x^2 + 1 \end{cases} $ графическим способом, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

1. Первое уравнение, $x + y = 2$, можно переписать в виде $y = -x + 2$. Это уравнение прямой линии. Для её построения достаточно двух точек. Например, если $x=0$, то $y=2$ (точка $(0, 2)$), и если $x=2$, то $y=0$ (точка $(2, 0)$).

2. Второе уравнение, $y = x^2 + 1$, задает параболу. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY. Её вершина находится в точке $(0, 1)$, а ветви направлены вверх. Другие точки на параболе: $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(2, 5)$, $(-2, 5)$.

3. Решениями системы являются координаты точек пересечения графиков. Построив графики, мы увидим две точки пересечения. Для нахождения точных координат решим систему аналитически, приравняв выражения для $y$:

$x^2 + 1 = -x + 2$

$x^2 + x - 1 = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = -x + 2$:

Если $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, то $y_1 = -(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}) + 2 = \frac{1 - \sqrt{5} + 4}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$.

Если $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$, то $y_2 = -(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}) + 2 = \frac{1 + \sqrt{5} + 4}{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$.

Точки пересечения имеют иррациональные координаты, которые на графике можно определить лишь приблизительно.

Ответ: $(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - \sqrt{5}}{2})$, $(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$.

б) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 4 \end{cases} $ графическим способом, построим графики каждого уравнения.

1. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 10$, — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{10} \approx 3.16$.

2. Второе уравнение, $x + y = 4$, можно переписать как $y = 4 - x$. Это уравнение прямой линии. Для её построения возьмем точки: если $x=0$, то $y=4$ (точка $(0, 4)$), и если $x=4$, то $y=0$ (точка $(4, 0)$).

3. Решениями системы являются координаты точек пересечения окружности и прямой. Начертив графики, можно увидеть две точки пересечения с целочисленными координатами. Это точки $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Проверим эти точки, подставив их координаты в оба уравнения:

Для точки $(1, 3)$: $1^2 + 3^2 = 1+9=10$ (верно) и $1+3=4$ (верно).

Для точки $(3, 1)$: $3^2 + 1^2 = 9+1=10$ (верно) и $3+1=4$ (верно).

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$.

в) Для решения системы $ \begin{cases} 4x - y = 1 \\ y = \frac{3}{x} \end{cases} $ графическим способом, построим графики.

1. Первое уравнение, $4x - y = 1$, или $y = 4x - 1$, является уравнением прямой. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$ (точка $(0, -1)$), и если $x=1$, то $y=3$ (точка $(1, 3)$).

2. Второе уравнение, $y = \frac{3}{x}$, задает гиперболу, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Оси координат являются асимптотами. Точки на гиперболе: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

3. Решения системы — это координаты точек пересечения прямой и гиперболы. Построив графики, мы находим две точки пересечения. Одна из них легко определяется по графику: $(1, 3)$. Для нахождения второй точки решим систему аналитически:

$4x - 1 = \frac{3}{x}$

$4x^2 - x = 3$

$4x^2 - x - 3 = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(4)(-3)}}{2(4)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+48}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{1 \pm 7}{8}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{1+7}{8} = 1$ и $x_2 = \frac{1-7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Соответствующие значения $y$:

Если $x_1=1$, то $y_1 = \frac{3}{1} = 3$.

Если $x_2=-\frac{3}{4}$, то $y_2 = \frac{3}{-3/4} = -4$.

Таким образом, точки пересечения: $(1, 3)$ и $(-\frac{3}{4}, -4)$.

Ответ: $(1, 3)$, $(-\frac{3}{4}, -4)$.

г) Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = \frac{1}{3} \end{cases} $ графическим способом, построим графики.

1. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 9$, — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

2. Второе уравнение, $y = \frac{1}{3}$, задает горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, \frac{1}{3})$ параллельно оси OX.

3. Решениями системы являются координаты точек пересечения окружности и прямой. Так как прямая $y=\frac{1}{3}$ проходит внутри окружности (поскольку $-3 < \frac{1}{3} < 3$), будет две точки пересечения, симметричные относительно оси OY.

Для нахождения точных координат подставим $y=\frac{1}{3}$ в уравнение окружности:

$x^2 + (\frac{1}{3})^2 = 9$

$x^2 + \frac{1}{9} = 9$

$x^2 = 9 - \frac{1}{9} = \frac{81-1}{9} = \frac{80}{9}$

$x = \pm\sqrt{\frac{80}{9}} = \pm\frac{\sqrt{16 \cdot 5}}{3} = \pm\frac{4\sqrt{5}}{3}$.

Точки пересечения имеют координаты $(\frac{4\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$ и $(-\frac{4\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.

Ответ: $(\frac{4\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$, $(-\frac{4\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3})$.