Номер 11, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданных системой неравенств:

а) $\begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - x^2 \le 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ |x| + 1 \ge 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y^2 + x^2 < 16 \\ 2x - 1 \le 0 \end{cases}$

д) $\begin{cases} y + x^2 < 0 \\ y^2 + x^2 \le 4 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 1 - x^2 \le 0 \\ 1 + |x| < 0 \end{cases}$

а) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} x^2 - 3x > 0, \\ x - 4 < 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 3x > 0$. Разложим на множители: $x(x-3) > 0$. Корнями соответствующего уравнения $x(x-3)=0$ являются $x=0$ и $x=3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ вне корней, то есть $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$. На координатной плоскости это соответствует двум открытым вертикальным полосам: все точки левее оси ординат ($x=0$) и все точки правее прямой $x=3$.

Решим второе неравенство: $x - 4 < 0$, что эквивалентно $x < 4$. На координатной плоскости это открытая полуплоскость, расположенная левее вертикальной прямой $x=4$.

Решением системы является пересечение найденных множеств. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $(x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty))$ и $(x < 4)$. Пересекая эти множества, получаем $x \in (-\infty, 0) \cup (3, 4)$.

Ответ: Искомое множество точек на координатной плоскости представляет собой объединение двух открытых вертикальных полос. Первая полоса задается неравенством $x<0$ (все точки левее оси $y$), а вторая — двойным неравенством $3<x<4$ (все точки между прямыми $x=3$ и $x=4$). Границы полос не включаются в решение.

б) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} 2x - x^2 \le 0, \\ 3 - x > 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x - x^2 \le 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 2x \ge 0$. Разложим на множители: $x(x-2) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$. На координатной плоскости это соответствует двум замкнутым вертикальным полосам: область, включающая ось $y$ и все точки левее нее ($x \le 0$), и область, включающая прямую $x=2$ и все точки правее нее ($x \ge 2$).

Решим второе неравенство: $3 - x > 0$, что эквивалентно $x < 3$. Это открытая полуплоскость левее прямой $x=3$.

Решением системы является пересечение этих множеств: $(x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)) \cap (x < 3)$. Пересекая множества, получаем $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3)$.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение двух вертикальных полос. Первая полоса — это замкнутая полуплоскость $x \le 0$ (ось ординат и все точки левее нее). Вторая полоса — это область, заключенная между прямыми $x=2$ и $x=3$, причем граница $x=2$ включается в множество, а граница $x=3$ — нет.

в) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} x^2 - 1 > 0, \\ |x| + 1 \ge 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 1 > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Это две открытые полуплоскости: все точки левее прямой $x=-1$ и все точки правее прямой $x=1$.

Рассмотрим второе неравенство: $|x| + 1 \ge 0$. По определению, модуль любого действительного числа $|x|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x| \ge 0$. Следовательно, $|x| + 1 \ge 1 > 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$. Множество его решений — вся координатная плоскость.

Решением системы является пересечение множества решений первого неравенства и всей координатной плоскости, то есть само множество решений первого неравенства.

Ответ: Искомое множество точек представляет собой объединение двух открытых полуплоскостей, заданных условиями $x < -1$ и $x > 1$. Границы $x=-1$ и $x=1$ не включаются в решение.

г) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} y^2 + x^2 < 16, \\ 2x - 1 \le 0; \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + y^2 < 4^2$ задает множество точек внутри окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=4$. Граница окружности (сама окружность) в это множество не входит. Это открытый круг.

Второе неравенство $2x - 1 \le 0$ преобразуется к виду $2x \le 1$, или $x \le 0.5$. Это множество точек, лежащих на прямой $x=0.5$ и левее нее. Это замкнутая полуплоскость.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — та часть открытого круга, которая лежит в замкнутой полуплоскости $x \le 0.5$.

Ответ: Искомое множество точек является сегментом круга. Оно ограничено дугой окружности $x^2+y^2=16$ (для $x < 0.5$) и отрезком прямой $x=0.5$. При этом дуга окружности не включается в множество, а отрезок прямой, являющийся хордой круга, включается.

д) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} y + x^2 < 0, \\ y^2 + x^2 \le 4; \end{cases}$

Первое неравенство $y + x^2 < 0$ эквивалентно $y < -x^2$. Уравнение $y = -x^2$ задает параболу с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз. Неравенство $y < -x^2$ задает множество точек, расположенных строго под этой параболой.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 2^2$ задает множество точек внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Это замкнутый круг.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: та часть замкнутого круга радиусом 2, которая одновременно находится ниже параболы $y=-x^2$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная сверху дугой параболы $y=-x^2$ и снизу дугой окружности $x^2+y^2=4$. При этом дуга параболы, являющаяся частью границы, не входит в искомое множество, а дуга окружности — входит.

е) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} 1 - x^2 \le 0, \\ 1 + |x| < 0. \end{cases}$

Рассмотрим второе неравенство: $1 + |x| < 0$, что эквивалентно $|x| < -1$. По определению, модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$). Неравенство, в котором неотрицательная величина должна быть меньше отрицательного числа, не имеет решений ни при каком значении $x$. Множество решений этого неравенства — пустое множество $\emptyset$.

Поскольку одно из неравенств в системе не имеет решений, то и вся система не имеет решений. Пересечение любого множества с пустым множеством дает пустое множество.

Ответ: Система неравенств не имеет решений. Искомое множество точек на координатной плоскости является пустым.