Номер 14, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14. а) Найдите разность, девятый член и значение суммы первых десяти членов арифметической прогрессии $3.2$; $4$; $4.8$; ... ;

б) найдите седьмой член и значение суммы первых двадцати членов арифметической прогрессии $40$; $39.6$; $39.2$; ... ;

в) шестой член арифметической прогрессии равен $35$, а значение суммы первых восьми членов равно $220$. Найдите первый член и разность прогрессии;

г) значение разности второго и восьмого членов арифметической прогрессии равно $-60$, суммы третьего и седьмого членов равно $-40$. Найдите первый член прогрессии.

а) Нам дана арифметическая прогрессия, где первые три члена равны $a_1 = 3,2$, $a_2 = 4$ и $a_3 = 4,8$.

1. Сначала найдем разность прогрессии $d$. Разность — это постоянное число, на которое отличается каждый последующий член прогрессии от предыдущего.$d = a_2 - a_1 = 4 - 3,2 = 0,8$.Проверим: $d = a_3 - a_2 = 4,8 - 4 = 0,8$.Итак, разность прогрессии $d = 0,8$.

2. Теперь найдем девятый член прогрессии $a_9$. Формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.Подставим наши значения: $a_1 = 3,2$, $d = 0,8$ и $n = 9$.$a_9 = 3,2 + (9-1) \times 0,8 = 3,2 + 8 \times 0,8 = 3,2 + 6,4 = 9,6$.Девятый член равен $9,6$.

3. Наконец, вычислим сумму первых десяти членов прогрессии $S_{10}$. Формула для суммы первых n членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \times n$.Подставим наши значения: $a_1 = 3,2$, $d = 0,8$ и $n = 10$.$S_{10} = \frac{2 \times 3,2 + (10-1) \times 0,8}{2} \times 10 = \frac{6,4 + 9 \times 0,8}{2} \times 10 = \frac{6,4 + 7,2}{2} \times 10 = \frac{13,6}{2} \times 10 = 6,8 \times 10 = 68$.Сумма первых десяти членов равна $68$.

Ответ: разность прогрессии равна 0,8; девятый член равен 9,6; сумма первых десяти членов равна 68.

б) Нам дана арифметическая прогрессия, где первые три члена равны $a_1 = 40$, $a_2 = 39,6$ и $a_3 = 39,2$.

1. Сначала найдем разность прогрессии $d$.$d = a_2 - a_1 = 39,6 - 40 = -0,4$.Итак, разность прогрессии $d = -0,4$.

2. Найдем седьмой член прогрессии $a_7$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.Подставим значения: $a_1 = 40$, $d = -0,4$ и $n = 7$.$a_7 = 40 + (7-1) \times (-0,4) = 40 + 6 \times (-0,4) = 40 - 2,4 = 37,6$.Седьмой член равен $37,6$.

3. Вычислим сумму первых двадцати членов прогрессии $S_{20}$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \times n$.Подставим значения: $a_1 = 40$, $d = -0,4$ и $n = 20$.$S_{20} = \frac{2 \times 40 + (20-1) \times (-0,4)}{2} \times 20 = (80 + 19 \times (-0,4)) \times 10 = (80 - 7,6) \times 10 = 72,4 \times 10 = 724$.Сумма первых двадцати членов равна $724$.

Ответ: седьмой член равен 37,6; сумма первых двадцати членов равна 724.

в) Нам дано, что шестой член арифметической прогрессии $a_6 = 35$, а сумма первых восьми членов $S_8 = 220$. Нам нужно найти первый член $a_1$ и разность $d$.

1. Запишем данные условия в виде системы уравнений, используя стандартные формулы арифметической прогрессии.Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Для $a_6$:$a_6 = a_1 + (6-1)d \Rightarrow a_1 + 5d = 35$. (1)Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \times n$. Для $S_8$:$S_8 = \frac{2a_1 + (8-1)d}{2} \times 8 = (2a_1 + 7d) \times 4 = 220$.Разделим обе части на 4: $2a_1 + 7d = 55$. (2)

2. Теперь решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными.Из уравнения (1) выразим $a_1$: $a_1 = 35 - 5d$.Подставим это выражение в уравнение (2):$2(35 - 5d) + 7d = 55$$70 - 10d + 7d = 55$$70 - 3d = 55$$3d = 70 - 55$$3d = 15$$d = 5$.

3. Найдем $a_1$, подставив значение $d = 5$ в выражение для $a_1$:$a_1 = 35 - 5 \times 5 = 35 - 25 = 10$.

Ответ: первый член прогрессии равен 10, а разность прогрессии равна 5.

г) Нам дано, что разность второго и восьмого членов арифметической прогрессии равна -60 ($a_2 - a_8 = -60$), а сумма третьего и седьмого членов равна -40 ($a_3 + a_7 = -40$). Нужно найти первый член прогрессии $a_1$.

1. Используем формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, чтобы выразить условия через $a_1$ и $d$.Из первого условия:$a_2 - a_8 = (a_1 + (2-1)d) - (a_1 + (8-1)d) = (a_1 + d) - (a_1 + 7d) = -6d$.Получаем уравнение: $-6d = -60$, откуда $d = 10$.

2. Теперь используем второе условие:$a_3 + a_7 = (a_1 + (3-1)d) + (a_1 + (7-1)d) = (a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 2a_1 + 8d$.Получаем уравнение: $2a_1 + 8d = -40$.

3. Мы уже нашли, что $d = 10$. Подставим это значение во второе уравнение, чтобы найти $a_1$:$2a_1 + 8 \times 10 = -40$$2a_1 + 80 = -40$$2a_1 = -40 - 80$$2a_1 = -120$$a_1 = -60$.

Ответ: первый член прогрессии равен -60.