Номер 19, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19. Докажите тождество:

a) $\frac{\sin3\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} \cdot \cos^2(2\alpha) = 0.5;$

б) $\frac{\sin3\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha - \cos3\alpha} \cdot \sin^2(2\alpha) - 0.5 = 0;$

в) $\frac{\sin3\alpha \cos\alpha - \sin\alpha \cos3\alpha}{0.5 \cos(2\alpha) \sin(4\alpha)} - \tan^2\alpha = 1;$

г) $\frac{\sin3\beta \sin6\beta}{\cos(4\beta) \cos\beta - \sin(4\beta) \sin\beta} + 2 \cos^2(3\beta) = 1.$

а) Преобразуем левую часть тождества $\frac{\sin3\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} \cdot \cos^22\alpha = 0,5$.

Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов (преобразование суммы в произведение):

$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Для числителя дроби:

$\sin3\alpha + \sin\alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin2\alpha\cos\alpha$

Для знаменателя дроби (сначала поменяем слагаемые местами для удобства):

$\cos\alpha + \cos3\alpha = \cos3\alpha + \cos\alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{2\sin2\alpha\cos\alpha}{2\cos2\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \tan2\alpha$

Теперь умножим на оставшийся член выражения:

$\tan2\alpha \cdot \cos^22\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} \cdot \cos^22\alpha = \sin2\alpha\cos2\alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получим:

$\sin2\alpha\cos2\alpha = \frac{1}{2}(2\sin2\alpha\cos2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin4\alpha$

Левая часть тождества равна $\frac{1}{2}\sin4\alpha$. Это выражение равно 0,5 только при условии $\sin4\alpha = 1$, что не выполняется для всех значений $\alpha$. Следовательно, исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Левая часть равна $\frac{1}{2}\sin4\alpha$.

б) Преобразуем левую часть тождества $\frac{\sin3\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha - \cos3\alpha} \cdot \sin^22\alpha - 0,5 = 0$, что эквивалентно доказательству $\frac{\sin3\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha - \cos3\alpha} \cdot \sin^22\alpha = 0,5$.

Применим формулы разности синусов и разности косинусов:

$\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

Для числителя дроби:

$\sin3\alpha - \sin\alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\sin\alpha$

Для знаменателя дроби:

$\cos\alpha - \cos3\alpha = -2 \sin\frac{\alpha+3\alpha}{2} \sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = -2\sin2\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin2\alpha\sin\alpha$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{2\cos2\alpha\sin\alpha}{2\sin2\alpha\sin\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} = \cot2\alpha$

Теперь умножим на оставшийся член выражения:

$\cot2\alpha \cdot \sin^22\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} \cdot \sin^22\alpha = \cos2\alpha\sin2\alpha$

Как и в пункте а), это выражение равно $\frac{1}{2}\sin4\alpha$.

Левая часть тождества равна $\frac{1}{2}\sin4\alpha$. Это выражение равно 0,5 только при условии $\sin4\alpha = 1$, что не выполняется для всех значений $\alpha$. Следовательно, исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Левая часть равна $\frac{1}{2}\sin4\alpha$.

в) В данном тождестве $\frac{\sin3\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos3\alpha}{0,5\cos2\alpha\sin4\alpha} - \tan^2\alpha = 1$, по всей видимости, допущена опечатка. Если заменить $\tan^2\alpha$ на $\tan^2(2\alpha)$, тождество становится верным. Докажем исправленное тождество:

$\frac{\sin3\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos3\alpha}{0,5\cos2\alpha\sin4\alpha} - \tan^2(2\alpha) = 1$

Преобразуем числитель дроби, используя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:

$\sin3\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos3\alpha = \sin(3\alpha-\alpha) = \sin2\alpha$

Преобразуем знаменатель, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$0,5\cos2\alpha\sin4\alpha = \frac{1}{2}\cos2\alpha\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\cos2\alpha(2\sin2\alpha\cos2\alpha) = \sin2\alpha\cos^22\alpha$

Теперь преобразуем всю дробь:

$\frac{\sin2\alpha}{\sin2\alpha\cos^22\alpha} = \frac{1}{\cos^22\alpha}$

Подставим полученное выражение в левую часть исправленного тождества:

$\frac{1}{\cos^22\alpha} - \tan^2(2\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $1+\tan^2x = \sec^2x = \frac{1}{\cos^2x}$, получаем:

$\sec^2(2\alpha) - \tan^2(2\alpha) = 1$

$1=1$. Что и требовалось доказать для исправленного тождества.

Ответ: С учётом исправления $\tan^2\alpha$ на $\tan^2(2\alpha)$, тождество $\frac{\sin3\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos3\alpha}{0,5\cos2\alpha\sin4\alpha} - \tan^2(2\alpha) = 1$ верно.

г) В данном тождестве $\frac{\sin3\beta\sin6\beta}{\cos4\beta\cos\beta - \sin4\beta\sin\beta} + 2\cos^23\beta = 1$, по всей видимости, допущены опечатки. Верным является следующее тождество:

$\frac{\sin3\beta\sin6\beta}{\cos4\beta\cos\beta + \sin4\beta\sin\beta} + \cos6\beta = 1$

Докажем это исправленное тождество. Преобразуем знаменатель дроби, используя формулу косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$\cos4\beta\cos\beta + \sin4\beta\sin\beta = \cos(4\beta-\beta) = \cos3\beta$

Подставим в левую часть исправленного тождества:

$\frac{\sin3\beta\sin6\beta}{\cos3\beta} + \cos6\beta$

Преобразуем первое слагаемое, используя $\frac{\sin3\beta}{\cos3\beta}=\tan3\beta$ и формулу синуса двойного угла $\sin6\beta = 2\sin3\beta\cos3\beta$:

$\tan3\beta \cdot \sin6\beta = \tan3\beta \cdot (2\sin3\beta\cos3\beta) = \frac{\sin3\beta}{\cos3\beta} \cdot 2\sin3\beta\cos3\beta = 2\sin^23\beta$

Теперь выражение принимает вид:

$2\sin^23\beta + \cos6\beta$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1-2\sin^2x$ для $\cos6\beta$:

$\cos6\beta = \cos(2 \cdot 3\beta) = 1 - 2\sin^23\beta$

Подставим это в выражение:

$2\sin^23\beta + (1 - 2\sin^23\beta) = 1$

$1=1$. Что и требовалось доказать для исправленного тождества.

Ответ: С учётом исправлений (знак в знаменателе и второе слагаемое), тождество $\frac{\sin3\beta\sin6\beta}{\cos4\beta\cos\beta + \sin4\beta\sin\beta} + \cos6\beta = 1$ верно.