Номер 17, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17. a) Найдите $\cos \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$;

б) найдите $\sin \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$, если $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$.

18. Упростите выражение:

а)

По условию задачи даны значения $ \cos\alpha = \frac{3}{5} $ и $ \sin2\alpha = -\frac{24}{25} $. Необходимо найти $ \cos\alpha $ и $ \tan\alpha $.

Значение косинуса уже указано в условии: $ \cos\alpha = \frac{3}{5} $.

Для того чтобы найти тангенс, воспользуемся определением $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $. Для этого нам сначала нужно определить значение $ \sin\alpha $.

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Подставим известные значения в эту формулу:

$ -\frac{24}{25} = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \frac{3}{5} $

Упростим полученное выражение:

$ -\frac{24}{25} = \frac{6}{5}\sin\alpha $

Теперь выразим $ \sin\alpha $:

$ \sin\alpha = -\frac{24}{25} \cdot \frac{5}{6} = -\frac{4 \cdot 6 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 6} = -\frac{4}{5} $

Зная $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $, мы можем вычислить тангенс:

$ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{3} $

Ответ: $ \cos\alpha = \frac{3}{5}, \tan\alpha = -\frac{4}{3} $.

б)

По условию задачи даны значения $ \sin\alpha = -\frac{4}{5} $ и $ \sin2\alpha = -\frac{24}{25} $. Необходимо найти $ \sin\alpha $ и $ \cot\alpha $.

Значение синуса уже указано в условии: $ \sin\alpha = -\frac{4}{5} $.

Для того чтобы найти котангенс, воспользуемся определением $ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $. Для этого нам сначала нужно определить значение $ \cos\alpha $.

Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим $ \cos^2\alpha $ и подставим известное значение $ \sin\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $

Из этого следует, что $ \cos\alpha $ может быть равен $ \frac{3}{5} $ или $ -\frac{3}{5} $. Чтобы определить правильный знак, воспользуемся вторым условием, $ \sin2\alpha = -\frac{24}{25} $.

Подставим известные значения в формулу синуса двойного угла $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ -\frac{24}{25} = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \cos\alpha $

Упростим выражение:

$ -\frac{24}{25} = -\frac{8}{5}\cos\alpha $

Теперь выразим $ \cos\alpha $:

$ \cos\alpha = \left(-\frac{24}{25}\right) \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) = \frac{24 \cdot 5}{25 \cdot 8} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{3}{5} $

Итак, мы определили, что $ \cos\alpha = \frac{3}{5} $.

Теперь мы можем вычислить котангенс:

$ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} $

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{4}{5}, \cot\alpha = -\frac{3}{4} $.