Номер 12, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12. Постройте график функции и найдите множество значений:

а) $y = x^2 - 8x;$

б) $y = -x^2 + 7x;$

в) $y = \sqrt{x+1} + 1;$

г) $y = 2 - \sqrt{x+2};$

д) $y = x^2 - |x|;$

е) $y = -x^2 + |x|.$

а)

Функция $y = x^2 - 8x$ является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем координаты вершины параболы по формуле $x_в = -b/(2a)$, $y_в = y(x_в)$. $x_в = -(-8) / (2 \cdot 1) = 4$.

$y_в = (4)^2 - 8(4) = 16 - 32 = -16$.

Вершина параболы находится в точке $(4; -16)$.

Найдем точки пересечения с осями координат: При $x = 0$, $y = 0$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 0)$. При $y = 0$, $x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x-8)=0$, откуда $x_1=0$, $x_2=8$. Точки пересечения с осью OX: $(0; 0)$ и $(8; 0)$. График — парабола с вершиной в точке $(4; -16)$, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(8; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции достигается в вершине. Следовательно, множество значений функции (или область значений) — это все значения $y$, начиная от $-16$ и до бесконечности.

Ответ: $E(y) = [-16; +\infty)$.

б)

Функция $y = -x^2 + 7x$ является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -7 / (2 \cdot (-1)) = 3.5$.

$y_в = -(3.5)^2 + 7(3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25$.

Вершина параболы находится в точке $(3.5; 12.25)$.

Найдем точки пересечения с осями координат: При $x = 0$, $y = 0$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 0)$. При $y = 0$, $-x^2 + 7x = 0 \Rightarrow x(-x+7)=0$, откуда $x_1=0$, $x_2=7$. Точки пересечения с осью OX: $(0; 0)$ и $(7; 0)$. График — парабола с вершиной в точке $(3.5; 12.25)$, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(7; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции достигается в вершине. Следовательно, множество значений функции — это все значения $y$ от минус бесконечности до $12.25$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 12.25]$.

в)

Функция $y = \sqrt{x+1} + 1$. График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево по оси OX и на 1 единицу вверх по оси OY.

Область определения функции: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

Начальная точка графика находится при $x=-1$. $y(-1) = \sqrt{-1+1} + 1 = 1$. Точка $(-1; 1)$.

Найдем еще одну точку для построения: при $x=3$, $y=\sqrt{3+1}+1=3$. Точка $(3; 3)$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-1; 1)$ и идущую вправо и вверх.

Значение выражения $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательно, т.е. $\sqrt{x+1} \ge 0$. Тогда $y = \sqrt{x+1} + 1 \ge 0+1=1$. Наименьшее значение функции равно $1$.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

г)

Функция $y = 2 - \sqrt{x+2}$. График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ следующими преобразованиями: сдвиг на 2 единицы влево, симметричное отражение относительно оси OX, и сдвиг на 2 единицы вверх.

Область определения функции: $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.

Начальная точка графика находится при $x=-2$. $y(-2) = 2 - \sqrt{-2+2} = 2$. Точка $(-2; 2)$.

Найдем еще одну точку для построения: при $x=2$, $y = 2 - \sqrt{2+2} = 2 - 2 = 0$. Точка $(2; 0)$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-2; 2)$ и идущую вправо и вниз.

Значение выражения $\sqrt{x+2} \ge 0$, следовательно $-\sqrt{x+2} \le 0$. Тогда $y = 2 - \sqrt{x+2} \le 2-0 = 2$. Наибольшее значение функции равно $2$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2]$.

д)

Функция $y = x^2 - |x|$. Это четная функция, так как $y(-x) = (-x)^2 - |-x| = x^2 - |x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

Раскроем модуль:

1) Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и функция принимает вид $y = x^2 - x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_в = -(-1)/2 = 0.5$, $y_в = (0.5)^2 - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25$. Вершина $(0.5; -0.25)$.

2) Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = x^2 + x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_в = -1/2 = -0.5$, $y_в = (-0.5)^2 - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25$. Вершина $(-0.5; -0.25)$.

График состоит из двух частей парабол, симметричных относительно оси OY. В точке $(0,0)$ они соединяются. Минимальное значение функции достигается в двух точках: $(0.5; -0.25)$ и $(-0.5; -0.25)$. Это значение равно $-0.25$.

Ответ: $E(y) = [-0.25; +\infty)$.

е)

Функция $y = -x^2 + |x|$. Это четная функция, так как $y(-x) = -(-x)^2 + |-x| = -x^2 + |x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

Раскроем модуль:

1) Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и функция принимает вид $y = -x^2 + x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_в = -1/(2 \cdot (-1)) = 0.5$, $y_в = -(0.5)^2 + 0.5 = -0.25 + 0.5 = 0.25$. Вершина $(0.5; 0.25)$.

2) Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = -x^2 - x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_в = -(-1)/(2 \cdot (-1)) = -0.5$, $y_в = -(-0.5)^2 - (-0.5) = -0.25 + 0.5 = 0.25$. Вершина $(-0.5; 0.25)$.

График состоит из двух частей парабол, симметричных относительно оси OY. В точке $(0,0)$ они соединяются. Максимальное значение функции достигается в двух точках: $(0.5; 0.25)$ и $(-0.5; 0.25)$. Это значение равно $0.25$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0.25]$.