Номер 8, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

а) $(x + 1)(x - 2)(x - 3) > 0;$

б) $(x + 2)(x + 4)(x - 8) > 0;$

в) $(x + 7)(x + 1)(x - 6)^2 < 0;$

г) $(x + 3)^2(x - 1)(x - 5) < 0.$

а) Чтобы найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству $(x + 1)(x - 2)(x - 3) > 0$, решим его методом интервалов.

1. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю: $(x + 1)(x - 2)(x - 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.

2. Нанесем эти точки на числовую ось. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$, $(2, 3)$ и $(3, +\infty)$. Так как неравенство строгое, точки на оси будут выколотыми.

3. Определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмем по одной пробной точке из каждого интервала.

• При $x = 4$ (интервал $(3, +\infty)$): $(4+1)(4-2)(4-3) = 5 \cdot 2 \cdot 1 = 10 > 0$. Знак "+".
• Так как все корни имеют нечетную степень (1), знаки в интервалах будут чередоваться.
• Интервал $(2, 3)$: знак "-".
• Интервал $(-1, 2)$: знак "+".
• Интервал $(-\infty, -1)$: знак "-".

4. Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это интервалы $(-1, 2)$ и $(3, +\infty)$.

5. Найдем наименьшее целое число в этих интервалах. В интервале $(-1, 2)$ находятся целые числа $0$ и $1$. Наименьшее из них — $0$. В интервале $(3, +\infty)$ наименьшее целое число — $4$. Из найденных чисел ($0$ и $4$) наименьшим является $0$.

Ответ: 0

б) Решим неравенство $(x + 2)(x + 4)(x - 8) > 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$; $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$; $x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$. Расположим их на оси в порядке возрастания: $-4, -2, 8$.

2. Корни разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, 8)$ и $(8, +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(8, +\infty)$ (например, при $x = 10$) выражение $(10+2)(10+4)(10-8)$ положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются.

4. Расстановка знаков по интервалам: $(-\infty, -4) \rightarrow -$; $(-4, -2) \rightarrow +$; $(-2, 8) \rightarrow -$; $(8, +\infty) \rightarrow +$.

5. Нам нужны интервалы со знаком "+": $(-4, -2) \cup (8, +\infty)$.

6. Наименьшее целое число в интервале $(-4, -2)$ — это $-3$. Наименьшее целое число в интервале $(8, +\infty)$ — это $9$. Наименьшее из всех целых решений — это $-3$.

Ответ: -3

в) Решим неравенство $(x + 7)(x + 1)(x - 6)^2 < 0$.

1. Найдем корни: $x_1 = -7$, $x_2 = -1$, $x_3 = 6$.

2. Обратим внимание, что множитель $(x - 6)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=6$ и положителен при всех остальных $x$. Так как неравенство строгое ($< 0$), $x=6$ не является решением. При $x \neq 6$ множитель $(x - 6)^2 > 0$, и на знак выражения не влияет. Таким образом, для $x \neq 6$ неравенство равносильно $(x + 7)(x + 1) < 0$.

3. Решим неравенство $(x + 7)(x + 1) < 0$. Корни $x = -7$ и $x = -1$. Это парабола с ветвями вверх, отрицательные значения находятся между корнями.

4. Решением является интервал $(-7, -1)$.

5. Точка $x=6$ не входит в этот интервал, поэтому дополнительная проверка не требуется.

6. Найдем наименьшее целое число в интервале $(-7, -1)$. Целые числа в этом интервале: $-6, -5, -4, -3, -2$. Наименьшее из них — $-6$.

Ответ: -6

г) Решим неравенство $(x + 3)^2(x - 1)(x - 5) < 0$.

1. Найдем корни: $x_1 = -3$ (кратность 2), $x_2 = 1$, $x_3 = 5$.

2. Множитель $(x + 3)^2$ всегда неотрицателен. При $x=-3$ выражение равно нулю, что не удовлетворяет строгому неравенству. При $x \neq -3$ множитель $(x+3)^2$ положителен и не влияет на знак. Таким образом, при $x \neq -3$ неравенство эквивалентно $(x - 1)(x - 5) < 0$.

3. Решением неравенства $(x - 1)(x - 5) < 0$ является интервал $(1, 5)$, так как это парабола с ветвями вверх, и она отрицательна между корнями.

4. Точка $x=-3$ не входит в полученный интервал, поэтому решение исходного неравенства — это $x \in (1, 5)$.

5. Целые числа, входящие в этот интервал: $2, 3, 4$. Наименьшее из них — $2$.

Ответ: 2