Номер 13, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13. а) Первое натуральное число составляет 75% от второго натурального числа. Найдите натуральные числа, если значение их произведений равно 1200;

б) если числитель дроби увеличить на 2, а знаменатель на 3, то получим дробь на $\frac{49}{35}$ больше данной дроби. Найдите первоначальную дробь;

в) значение суммы цифр двузначного числа равно 9, а значение разности квадратов его цифр равно 27. Найдите двузначное число;

г) катер проплыл по течению реки 36 км, против течения 48 км. На весь путь потрачено 6 ч времени. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч;

д) промежуток 180 км первый поезд проходит на 1,5 ч быстрее, чем второй поезд. Найдите скорость каждого поезда, если поезда вместе за 3 ч проезжают 162 км.

а) Пусть первое натуральное число равно $x$, а второе натуральное число равно $y$.

Из условия задачи известно, что первое число составляет 75% от второго, что можно записать в виде уравнения:$x = 0.75y$ или $x = \frac{3}{4}y$.

Также известно, что произведение этих чисел равно 1200:$x \cdot y = 1200$.

Подставим первое уравнение во второе:$(\frac{3}{4}y) \cdot y = 1200$

$\frac{3}{4}y^2 = 1200$

$y^2 = \frac{1200 \cdot 4}{3}$

$y^2 = 400 \cdot 4$

$y^2 = 1600$

Так как $y$ — натуральное число, $y = \sqrt{1600} = 40$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:$x = \frac{3}{4} \cdot 40 = 3 \cdot 10 = 30$.

Искомые натуральные числа — 30 и 40.Проверка: $30 \cdot 40 = 1200$. $30 / 40 = 0.75 = 75\%$.

Ответ: 30 и 40.

б) Пусть первоначальная дробь равна $\frac{x}{y}$.

Если числитель увеличить на 2, а знаменатель на 3, получим новую дробь $\frac{x+2}{y+3}$.

В условии сказано, что новая дробь на $\frac{49}{35}$ больше данной. Запишем уравнение:$\frac{x+2}{y+3} = \frac{x}{y} + \frac{49}{35}$.

Упростим дробь $\frac{49}{35} = \frac{7}{5}$.$\frac{x+2}{y+3} = \frac{x}{y} + \frac{7}{5}$.

Преобразуем уравнение:$\frac{x+2}{y+3} - \frac{x}{y} = \frac{7}{5}$

$\frac{y(x+2) - x(y+3)}{y(y+3)} = \frac{7}{5}$

$\frac{xy+2y-xy-3x}{y^2+3y} = \frac{7}{5}$

$\frac{2y-3x}{y^2+3y} = \frac{7}{5}$

$5(2y-3x) = 7(y^2+3y)$

$10y - 15x = 7y^2 + 21y$

$7y^2 + 11y + 15x = 0$

Для натуральных (положительных) чисел $x$ и $y$ сумма $7y^2 + 11y + 15x$ всегда будет положительной и не может равняться нулю. Это означает, что в условии задачи, скорее всего, опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в значении $\frac{49}{35}$. Предположим, что имелось в виду $\frac{4}{35}$.

Тогда уравнение примет вид:$\frac{2y-3x}{y^2+3y} = \frac{4}{35}$

$35(2y-3x) = 4(y^2+3y)$

$70y - 105x = 4y^2 + 12y$

$105x = 58y - 4y^2$

$105x = 2y(29-2y)$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, $x > 0$, следовательно $29-2y > 0$, что означает $2y < 29$ или $y \le 14$.

Правая часть $2y(29-2y)$ должна быть делимой на 105, то есть на 3, 5 и 7.Проверим возможные значения $y$ от 1 до 14.Если $y=7$:$105x = 2 \cdot 7 \cdot (29 - 2 \cdot 7) = 14 \cdot (29 - 14) = 14 \cdot 15 = 210$.

$x = \frac{210}{105} = 2$.

Получили натуральные $x=2$ и $y=7$. Первоначальная дробь — $\frac{2}{7}$.

Проверка: новая дробь $\frac{2+2}{7+3} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Разность $\frac{2}{5} - \frac{2}{7} = \frac{14-10}{35} = \frac{4}{35}$. Условие выполнено.

Ответ: $\frac{2}{7}$.

в) Пусть двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Значение числа равно $10a+b$.Из условия задачи имеем систему уравнений:1. Сумма цифр равна 9: $a+b=9$.2. Разность квадратов цифр равна 27: $a^2-b^2=27$. (Так как разность положительна, квадрат цифры десятков больше квадрата цифры единиц, $a > b$).

Разложим второе уравнение по формуле разности квадратов:$(a-b)(a+b)=27$.

Подставим в это уравнение значение $a+b$ из первого уравнения:$(a-b) \cdot 9 = 27$.

$a-b = \frac{27}{9} = 3$.

Теперь у нас есть простая система из двух линейных уравнений:$\begin{cases} a+b=9 \\ a-b=3 \end{cases}$

Сложим два уравнения:$(a+b)+(a-b) = 9+3$

$2a = 12$

$a = 6$.

Подставим значение $a$ в первое уравнение:$6+b=9$

$b=3$.

Цифра десятков равна 6, цифра единиц равна 3. Искомое число — 63.

Ответ: 63.

г) Пусть $v_c$ — собственная скорость катера в км/ч. Скорость течения реки $v_p = 3$ км/ч.

Скорость катера по течению: $v_{по} = v_c + v_p = v_c + 3$ км/ч.

Скорость катера против течения: $v_{против} = v_c - v_p = v_c - 3$ км/ч. (При этом $v_c > 3$).

Время движения по течению: $t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{36}{v_c+3}$ ч.

Время движения против течения: $t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{48}{v_c-3}$ ч.

Общее время в пути составляет 6 часов:$t_{по} + t_{против} = 6$

$\frac{36}{v_c+3} + \frac{48}{v_c-3} = 6$.

Разделим все уравнение на 6 для упрощения:$\frac{6}{v_c+3} + \frac{8}{v_c-3} = 1$.

Приведем к общему знаменателю $(v_c+3)(v_c-3)$:$6(v_c-3) + 8(v_c+3) = (v_c+3)(v_c-3)$

$6v_c - 18 + 8v_c + 24 = v_c^2 - 9$

$14v_c + 6 = v_c^2 - 9$

$v_c^2 - 14v_c - 15 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$.

$v_c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{14 \pm 16}{2}$.

Получаем два корня:$v_{c1} = \frac{14+16}{2} = \frac{30}{2} = 15$.$v_{c2} = \frac{14-16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_c = 15$ км/ч. Это значение удовлетворяет условию $v_c > 3$.

Ответ: 15 км/ч.

д) Пусть $v_1$ — скорость первого поезда (в км/ч), а $v_2$ — скорость второго поезда (в км/ч).

Из первого условия: время первого поезда для прохождения 180 км ($t_1 = \frac{180}{v_1}$) на 1,5 часа меньше времени второго ($t_2 = \frac{180}{v_2}$):$\frac{180}{v_2} - \frac{180}{v_1} = 1.5$.

Из второго условия: вместе за 3 часа поезда проезжают 162 км. Это означает, что сумма их скоростей, умноженная на 3, равна 162:$3(v_1 + v_2) = 162$.

Из второго уравнения находим сумму скоростей:$v_1 + v_2 = \frac{162}{3} = 54$.

Отсюда $v_1 = 54 - v_2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:$\frac{180}{v_2} - \frac{180}{54 - v_2} = 1.5$.

Разделим уравнение на 1.5 (или умножим на 2/3):$\frac{120}{v_2} - \frac{120}{54 - v_2} = 1$.

Приведем к общему знаменателю $v_2(54-v_2)$:$120(54 - v_2) - 120v_2 = v_2(54 - v_2)$

$6480 - 120v_2 - 120v_2 = 54v_2 - v_2^2$

$6480 - 240v_2 = 54v_2 - v_2^2$

$v_2^2 - 294v_2 + 6480 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-294)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6480 = 86436 - 25920 = 60516$.

$\sqrt{D} = \sqrt{60516} = 246$.

$v_2 = \frac{294 \pm 246}{2}$.

Получаем два корня для $v_2$:$v_{2_a} = \frac{294+246}{2} = \frac{540}{2} = 270$.$v_{2_b} = \frac{294-246}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

Рассмотрим оба случая:1. Если $v_2 = 270$ км/ч, то $v_1 = 54 - 270 = -216$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, этот корень не подходит.2. Если $v_2 = 24$ км/ч, то $v_1 = 54 - 24 = 30$ км/ч. Оба значения положительны и являются решением.

Проверка: $t_1 = 180/30 = 6$ ч. $t_2 = 180/24 = 7.5$ ч. $t_2 - t_1 = 7.5 - 6 = 1.5$ ч. Условие выполняется.

Ответ: скорость первого поезда 30 км/ч, скорость второго поезда 24 км/ч.