Номер 9, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

а) $(x + 1)(x - 4)(x - 5) \le 0;$

б) $(x + 2)(x - 2)(x - 3) < 0;$

в) $(x - 3)(x - 8)^2 \le 0;$

г) $(x + 5)^2(x + 1) < 0.$

а) Для решения неравенства $(x+1)(x-4)(x-5) \le 0$ воспользуемся методом интервалов.

Сначала найдем корни выражения, приравняв его к нулю: $(x+1)(x-4)(x-5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 4$, $x_3 = 5$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными.

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1]$, $[-1; 4]$, $[4; 5]$, $[5; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

- При $x > 5$ (например, $x=6$): $(+)(+)(+) = +$.

- При $x \in [4; 5]$ (например, $x=4.5$): $(+)(+)(-) = -$.

- При $x \in [-1; 4]$ (например, $x=0$): $(+)(-)(-) = +$.

- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-)(-)(-) = -$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это объединение промежутков: $(-\infty; -1] \cup [4; 5]$.

В это объединение входят целые числа ..., -2, -1, а также 4, 5. Наибольшее из них — это 5.

Ответ: 5

б) Для решения неравенства $(x+2)(x-2)(x-3) < 0$ применим метод интервалов.

Найдем нули функции: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<$), точки будут выколотыми.

Прямая разбивается на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определим знаки выражения на интервалах:

- При $x > 3$: $(+)(+)(+) = +$.

- При $x \in (2; 3)$: $(+)(+)(-) = -$.

- При $x \in (-2; 2)$: $(+)(-)(-) = +$.

- При $x < -2$: $(-)(-)(-) = -$.

Нам нужны интервалы, где выражение строго меньше нуля. Решением является объединение $(-\infty; -2) \cup (2; 3)$.

В интервале $(2; 3)$ целых чисел нет. В интервале $(-\infty; -2)$ наибольшим целым числом является -3.

Следовательно, наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, это -3.

Ответ: -3

в) Рассмотрим неравенство $(x-3)(x-8)^2 \le 0$.

Множитель $(x-8)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x-8)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Произведение будет меньше или равно нулю в двух случаях:

1. Когда произведение равно нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю: $x-3=0$ или $x-8=0$. Отсюда $x=3$ или $x=8$. Оба этих значения являются решениями.

2. Когда произведение строго меньше нуля. Поскольку $(x-8)^2 > 0$ при $x \neq 8$, для отрицательности всего выражения необходимо, чтобы первый множитель был отрицательным: $x-3 < 0$, что дает $x < 3$.

Объединяя все полученные решения, получаем $x \in (-\infty; 3] \cup \{8\}$.

Целые числа, входящие в это множество, это ..., 1, 2, 3, а также число 8. Наибольшее из них — это 8.

Ответ: 8

г) Рассмотрим неравенство $(x+5)^2(x+1) < 0$.

Множитель $(x+5)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, то случай равенства нулю нас не интересует. Следовательно, $(x+5)^2 > 0$, что выполняется при $x \neq -5$.

Поскольку первый множитель $(x+5)^2$ положителен, то для того, чтобы все произведение было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным:

$x+1 < 0$

$x < -1$

Итак, мы имеем систему из двух условий:

$ \begin{cases} x < -1 \\ x \neq -5 \end{cases} $

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -5) \cup (-5; -1)$.

Целые числа, принадлежащие этому множеству: ..., -7, -6, а также -4, -3, -2. Наибольшим из этих целых чисел является -2.

Ответ: -2