Номер 10, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 6x - 16 < 0, \\ x - 5 \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 2x - 24 \ge 0, \\ 3 - x > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \le 0, \\ x^2 - 5x + 6 \ge 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 28 < 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 6x - 16 < 0, \\ x - 5 \ge 0;\end{cases}$

1. Сначала решим первое неравенство $x^2 - 6x - 16 < 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x - 16$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $x^2 - 6x - 16 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-2, 8)$.

2. Теперь решим второе неравенство $x - 5 \ge 0$.

$x \ge 5$.

Решение второго неравенства: $x \in [5, +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $(-2, 8) \cap [5, +\infty)$.

Общим решением является интервал, где оба условия выполняются одновременно, то есть $x \in [5, 8)$.

Ответ: $x \in [5, 8)$.

б) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 2x - 24 \ge 0, \\ 3 - x > 0;\end{cases}$

1. Решим первое неравенство $x^2 + 2x - 24 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 24 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 24$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 24 \ge 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -6] \cup [4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $3 - x > 0$.

$-x > -3$, что эквивалентно $x < 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -6] \cup [4, +\infty)) \cap (-\infty, 3)$.

Пересечение интервала $(-\infty, 3)$ с $(-\infty, -6]$ дает $(-\infty, -6]$.

Пересечение интервала $(-\infty, 3)$ с $[4, +\infty)$ является пустым множеством.

Таким образом, общее решение: $x \in (-\infty, -6]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6]$.

в) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \le 0, \\ x^2 - 5x + 6 > 0;\end{cases}$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 5x + 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 4 \le 0$ выполняется между корнями, включая их.

Решение первого неравенства: $x \in [1, 4]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 5x + 6 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 6 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[1, 4] \cap ((-\infty, 2) \cup (3, +\infty))$.

Это равносильно объединению двух пересечений:

- $[1, 4] \cap (-\infty, 2) = [1, 2)$

- $[1, 4] \cap (3, +\infty) = (3, 4]$

Общее решение системы: $x \in [1, 2) \cup (3, 4]$.

Ответ: $x \in [1, 2) \cup (3, 4]$.

г) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 28 < 0.\end{cases}$

1. Решим первое неравенство $9 - x^2 \ge 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 9 \le 0$.

Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 9 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, включая их.

Решение первого неравенства: $x \in [-3, 3]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 3x - 28 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 28 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$.

Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 - 11}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 + 11}{2} = 4$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-7, 4)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-3, 3] \cap (-7, 4)$.

Очевидно, что все числа из отрезка $[-3, 3]$ также содержатся в интервале $(-7, 4)$.

Следовательно, общее решение: $x \in [-3, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, 3]$.