Номер 7, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7. Решите неравенство:

а) $\frac{x^2 - 4x}{9 + x} \ge 0;$

б) $\frac{2x - x^2}{6 - x} \ge 0;$

в) $\frac{x + 7}{3x - x^2} > 0;$

г) $\frac{5 - x}{x^2 + 4x} < 0;$

д) $\frac{1 + |x|}{x - 1} < 0;$

е) $\frac{|x| - 4}{5 + x} \ge 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x^2 - 4x}{9 + x} \ge 0$.

Для решения данного дробно-рационального неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

1. Нули числителя: $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$. Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются частью решения и на числовой оси будут отмечены закрашенными кружками.

2. Нули знаменателя: $9 + x = 0 \Rightarrow x_3 = -9$. Эта точка не входит в область допустимых значений, так как знаменатель не может быть равен нулю. На числовой оси эта точка будет отмечена выколотым (пустым) кружком.

3. Отметим точки -9, 0, 4 на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -9)$, $(-9, 0]$, $[0, 4]$ и $[4, +\infty)$.

4. Определим знак выражения $\frac{x(x - 4)}{x + 9}$ на каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:

• Интервал $(4, +\infty)$: возьмем $x=10$. $\frac{10(10-4)}{10+9} = \frac{60}{19} > 0$. Знак "+".
• Интервал $[0, 4]$: возьмем $x=1$. $\frac{1(1-4)}{1+9} = \frac{-3}{10} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-9, 0]$: возьмем $x=-1$. $\frac{-1(-1-4)}{-1+9} = \frac{5}{8} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty, -9)$: возьмем $x=-10$. $\frac{-10(-10-4)}{-10+9} = \frac{140}{-1} < 0$. Знак "-".

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $(-9, 0]$ и $[4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-9, 0] \cup [4, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{2x - x^2}{6 - x} \ge 0$.

1. Упростим выражение. Вынесем минус в числителе и знаменателе: $\frac{-(x^2 - 2x)}{-(x - 6)} \ge 0$. Это эквивалентно $\frac{x^2 - 2x}{x - 6} \ge 0$ при $x \ne 6$.

2. Разложим числитель на множители: $\frac{x(x - 2)}{x - 6} \ge 0$.

3. Найдем нули числителя: $x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$. Точки включаются в решение.

4. Найдем нуль знаменателя: $x - 6 = 0 \Rightarrow x_3 = 6$. Точка исключается из решения.

5. Отметим точки 0, 2, 6 на числовой прямой и определим знаки выражения в интервалах:

• Интервал $(6, +\infty)$: возьмем $x=7$. $\frac{7(7-2)}{7-6} > 0$. Знак "+".
• Интервал $[2, 6)$: возьмем $x=3$. $\frac{3(3-2)}{3-6} < 0$. Знак "-".
• Интервал $[0, 2]$: возьмем $x=1$. $\frac{1(1-2)}{1-6} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty, 0]$: возьмем $x=-1$. $\frac{-1(-1-2)}{-1-6} < 0$. Знак "-".

6. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in [0, 2] \cup (6, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x + 7}{3x - x^2} > 0$.

1. Преобразуем знаменатель: $3x - x^2 = x(3 - x) = -x(x - 3)$. Неравенство примет вид $\frac{x + 7}{-x(x - 3)} > 0$.

2. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x + 7}{x(x - 3)} < 0$.

3. Найдем нули числителя и знаменателя: $x+7=0 \Rightarrow x=-7$; $x=0$; $x-3=0 \Rightarrow x=3$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

4. Отметим точки -7, 0, 3 на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x+7}{x(x-3)}$ в интервалах:

• Интервал $(3, +\infty)$: $x=4 \Rightarrow \frac{+}{+ \cdot +} = +$.
• Интервал $(0, 3)$: $x=1 \Rightarrow \frac{+}{+ \cdot -} = -$.
• Интервал $(-7, 0)$: $x=-1 \Rightarrow \frac{+}{- \cdot -} = +$.
• Интервал $(-\infty, -7)$: $x=-8 \Rightarrow \frac{-}{- \cdot -} = -$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (0, 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{5 - x}{x^2 + 4x} < 0$.

1. Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{-(x - 5)}{x(x + 4)} < 0$.

2. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{x - 5}{x(x + 4)} > 0$.

3. Найдем нули: $x-5=0 \Rightarrow x=5$; $x=0$; $x+4=0 \Rightarrow x=-4$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

4. Отметим точки -4, 0, 5 на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x-5}{x(x+4)}$ в интервалах:

• Интервал $(5, +\infty)$: $x=6 \Rightarrow \frac{+}{+ \cdot +} = +$.
• Интервал $(0, 5)$: $x=1 \Rightarrow \frac{-}{+ \cdot +} = -$.
• Интервал $(-4, 0)$: $x=-1 \Rightarrow \frac{-}{- \cdot +} = +$.
• Интервал $(-\infty, -4)$: $x=-5 \Rightarrow \frac{-}{- \cdot -} = -$.

5. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-4, 0) \cup (5, +\infty)$.

д) Решим неравенство $\frac{1 + |x|}{x - 1} < 0$.

1. Проанализируем числитель $1 + |x|$. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то выражение $1 + |x|$ всегда будет больше или равно 1, то есть $1 + |x| > 0$ при всех $x$.

2. Так как числитель дроби всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком ее знаменателя.

3. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству $x - 1 < 0$.

4. Решаем это простое линейное неравенство: $x < 1$.

5. При этом условие $x-1 \ne 0$ уже выполняется.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

е) Решим неравенство $\frac{|x| - 4}{5 + x} \ge 0$.

1. Найдем нули числителя: $|x| - 4 = 0 \Rightarrow |x| = 4$. Это дает два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Обе точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое.

2. Найдем нуль знаменателя: $5 + x = 0 \Rightarrow x_3 = -5$. Эта точка исключается.

3. Отметим точки -5, -4, 4 на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы.

4. Определим знак выражения $\frac{|x|-4}{5+x}$ в каждом интервале:

• Интервал $(4, +\infty)$: возьмем $x=5$. $\frac{|5|-4}{5+5} = \frac{1}{10} > 0$. Знак "+".
• Интервал $[-4, 4]$: возьмем $x=0$. $\frac{|0|-4}{5+0} = \frac{-4}{5} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-5, -4]$: возьмем $x=-4.5$. $\frac{|-4.5|-4}{5-4.5} = \frac{4.5-4}{0.5} = 1 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty, -5)$: возьмем $x=-6$. $\frac{|-6|-4}{5-6} = \frac{6-4}{-1} = -2 < 0$. Знак "-".

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in (-5, -4] \cup [4, +\infty)$.