Страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. Решите неравенство, используя график квадратичной функции и метод интервалов:

а) $x^2 - 7x + 12 \ge 0;$

б) $x^2 + 6x - 16 < 0;$

в) $-x^2 + 7x - 10 \ge 0;$

г) $-7x^2 + 2x + 5 < 0.$

а) $x^2 - 7x + 12 \ge 0$

Для решения этого неравенства рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 7x + 12$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 12$. Отсюда находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Это точки пересечения параболы с осью Ox.

Схематически изобразив параболу, мы видим, что функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) на промежутках, где график находится на оси Ox или выше нее. Это происходит при $x \le 3$ и $x \ge 4$.

Применим метод интервалов. Нанесем корни $3$ и $4$ на числовую ось. Точки будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

Ось разделится на три интервала: $(-\infty; 3]$, $[3; 4]$ и $[4; \infty)$.

Определим знак выражения $x^2 - 7x + 12$ в каждом интервале, подставляя пробные точки:

- При $x \in (-\infty; 3)$, например $x=0$: $0^2 - 7(0) + 12 = 12 > 0$. Знак "+".

- При $x \in (3; 4)$, например $x=3.5$: $(3.5)^2 - 7(3.5) + 12 = 12.25 - 24.5 + 12 = -0.25 < 0$. Знак "-".

- При $x \in (4; \infty)$, например $x=5$: $5^2 - 7(5) + 12 = 25 - 35 + 12 = 2 > 0$. Знак "+".

Нам нужны промежутки, где выражение неотрицательно, то есть где стоит знак "+", включая концы промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [4; \infty)$.

б) $x^2 + 6x - 16 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 6x - 16$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 6x - 16 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-6 - 10}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $-8$ и $2$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) между корнями. То есть, когда $x$ находится в интервале $(-8; 2)$.

Методом интервалов: наносим на числовую ось точки $-8$ и $2$. Точки выколотые, так как неравенство строгое ($<$).

Интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-8; 2)$, $(2; \infty)$.

- При $x \in (-\infty; -8)$, например $x=-10$: $(-10)^2 + 6(-10) - 16 = 100 - 60 - 16 = 24 > 0$. Знак "+".

- При $x \in (-8; 2)$, например $x=0$: $0^2 + 6(0) - 16 = -16 < 0$. Знак "-".

- При $x \in (2; \infty)$, например $x=3$: $3^2 + 6(3) - 16 = 9 + 18 - 16 = 11 > 0$. Знак "+".

Нам нужен промежуток, где выражение отрицательно, то есть где стоит знак "-".

Ответ: $x \in (-8; 2)$.

в) $-x^2 + 7x - 10 \ge 0$

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 7x - 10$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля.

Найдем нули функции, решив уравнение $-x^2 + 7x - 10 = 0$. Умножим обе части на $-1$: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 \cdot x_2 = 10$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $2$ и $5$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни. То есть, при $x \in [2; 5]$.

Методом интервалов: наносим на числовую ось точки $2$ и $5$. Точки закрашенные (неравенство нестрогое $\ge$).

Интервалы: $(-\infty; 2]$, $[2; 5]$, $[5; \infty)$.

Определим знак выражения $-x^2 + 7x - 10$ в каждом интервале:

- При $x \in (-\infty; 2)$, например $x=0$: $-(0)^2 + 7(0) - 10 = -10 < 0$. Знак "-".

- При $x \in (2; 5)$, например $x=3$: $-(3)^2 + 7(3) - 10 = -9 + 21 - 10 = 2 > 0$. Знак "+".

- При $x \in (5; \infty)$, например $x=6$: $-(6)^2 + 7(6) - 10 = -36 + 42 - 10 = -4 < 0$. Знак "-".

Нам нужен промежуток, где выражение неотрицательно, то есть где стоит знак "+", включая концы.

Ответ: $x \in [2; 5]$.

г) $-7x^2 + 2x + 5 < 0$

Рассмотрим функцию $y = -7x^2 + 2x + 5$. Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-7 < 0$).

Найдем нули функции: $-7x^2 + 2x + 5 = 0$. Умножим на $-1$: $7x^2 - 2x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - 12}{2 \cdot 7} = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7}$ и $x_2 = \frac{2 + 12}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $-\frac{5}{7}$ и $1$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) вне промежутка между корнями. То есть, при $x < -\frac{5}{7}$ и $x > 1$.

Методом интервалов: наносим на числовую ось точки $-\frac{5}{7}$ и $1$. Точки выколотые (неравенство строгое $<$).

Интервалы: $(-\infty; -\frac{5}{7})$, $(-\frac{5}{7}; 1)$, $(1; \infty)$.

Определим знак выражения $-7x^2 + 2x + 5$ в каждом интервале:

- При $x \in (-\infty; -\frac{5}{7})$, например $x=-1$: $-7(-1)^2 + 2(-1) + 5 = -7 - 2 + 5 = -4 < 0$. Знак "-".

- При $x \in (-\frac{5}{7}; 1)$, например $x=0$: $-7(0)^2 + 2(0) + 5 = 5 > 0$. Знак "+".

- При $x \in (1; \infty)$, например $x=2$: $-7(2)^2 + 2(2) + 5 = -28 + 4 + 5 = -19 < 0$. Знак "-".

Нам нужны промежутки, где выражение отрицательно, то есть где стоит знак "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{7}) \cup (1; \infty)$.

7. Решите неравенство:

а) $\frac{x^2 - 4x}{9 + x} \ge 0;$

б) $\frac{2x - x^2}{6 - x} \ge 0;$

в) $\frac{x + 7}{3x - x^2} > 0;$

г) $\frac{5 - x}{x^2 + 4x} < 0;$

д) $\frac{1 + |x|}{x - 1} < 0;$

е) $\frac{|x| - 4}{5 + x} \ge 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x^2 - 4x}{9 + x} \ge 0$.

Для решения данного дробно-рационального неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

1. Нули числителя: $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$. Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки являются частью решения и на числовой оси будут отмечены закрашенными кружками.

2. Нули знаменателя: $9 + x = 0 \Rightarrow x_3 = -9$. Эта точка не входит в область допустимых значений, так как знаменатель не может быть равен нулю. На числовой оси эта точка будет отмечена выколотым (пустым) кружком.

3. Отметим точки -9, 0, 4 на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -9)$, $(-9, 0]$, $[0, 4]$ и $[4, +\infty)$.

4. Определим знак выражения $\frac{x(x - 4)}{x + 9}$ на каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:

• Интервал $(4, +\infty)$: возьмем $x=10$. $\frac{10(10-4)}{10+9} = \frac{60}{19} > 0$. Знак "+".
• Интервал $[0, 4]$: возьмем $x=1$. $\frac{1(1-4)}{1+9} = \frac{-3}{10} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-9, 0]$: возьмем $x=-1$. $\frac{-1(-1-4)}{-1+9} = \frac{5}{8} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty, -9)$: возьмем $x=-10$. $\frac{-10(-10-4)}{-10+9} = \frac{140}{-1} < 0$. Знак "-".

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $(-9, 0]$ и $[4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-9, 0] \cup [4, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{2x - x^2}{6 - x} \ge 0$.

1. Упростим выражение. Вынесем минус в числителе и знаменателе: $\frac{-(x^2 - 2x)}{-(x - 6)} \ge 0$. Это эквивалентно $\frac{x^2 - 2x}{x - 6} \ge 0$ при $x \ne 6$.

2. Разложим числитель на множители: $\frac{x(x - 2)}{x - 6} \ge 0$.

3. Найдем нули числителя: $x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$. Точки включаются в решение.

4. Найдем нуль знаменателя: $x - 6 = 0 \Rightarrow x_3 = 6$. Точка исключается из решения.

5. Отметим точки 0, 2, 6 на числовой прямой и определим знаки выражения в интервалах:

• Интервал $(6, +\infty)$: возьмем $x=7$. $\frac{7(7-2)}{7-6} > 0$. Знак "+".
• Интервал $[2, 6)$: возьмем $x=3$. $\frac{3(3-2)}{3-6} < 0$. Знак "-".
• Интервал $[0, 2]$: возьмем $x=1$. $\frac{1(1-2)}{1-6} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty, 0]$: возьмем $x=-1$. $\frac{-1(-1-2)}{-1-6} < 0$. Знак "-".

6. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in [0, 2] \cup (6, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x + 7}{3x - x^2} > 0$.

1. Преобразуем знаменатель: $3x - x^2 = x(3 - x) = -x(x - 3)$. Неравенство примет вид $\frac{x + 7}{-x(x - 3)} > 0$.

2. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x + 7}{x(x - 3)} < 0$.

3. Найдем нули числителя и знаменателя: $x+7=0 \Rightarrow x=-7$; $x=0$; $x-3=0 \Rightarrow x=3$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

4. Отметим точки -7, 0, 3 на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x+7}{x(x-3)}$ в интервалах:

• Интервал $(3, +\infty)$: $x=4 \Rightarrow \frac{+}{+ \cdot +} = +$.
• Интервал $(0, 3)$: $x=1 \Rightarrow \frac{+}{+ \cdot -} = -$.
• Интервал $(-7, 0)$: $x=-1 \Rightarrow \frac{+}{- \cdot -} = +$.
• Интервал $(-\infty, -7)$: $x=-8 \Rightarrow \frac{-}{- \cdot -} = -$.

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (0, 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{5 - x}{x^2 + 4x} < 0$.

1. Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{-(x - 5)}{x(x + 4)} < 0$.

2. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{x - 5}{x(x + 4)} > 0$.

3. Найдем нули: $x-5=0 \Rightarrow x=5$; $x=0$; $x+4=0 \Rightarrow x=-4$. Все точки выколотые, так как неравенство строгое.

4. Отметим точки -4, 0, 5 на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x-5}{x(x+4)}$ в интервалах:

• Интервал $(5, +\infty)$: $x=6 \Rightarrow \frac{+}{+ \cdot +} = +$.
• Интервал $(0, 5)$: $x=1 \Rightarrow \frac{-}{+ \cdot +} = -$.
• Интервал $(-4, 0)$: $x=-1 \Rightarrow \frac{-}{- \cdot +} = +$.
• Интервал $(-\infty, -4)$: $x=-5 \Rightarrow \frac{-}{- \cdot -} = -$.

5. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (-4, 0) \cup (5, +\infty)$.

д) Решим неравенство $\frac{1 + |x|}{x - 1} < 0$.

1. Проанализируем числитель $1 + |x|$. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то выражение $1 + |x|$ всегда будет больше или равно 1, то есть $1 + |x| > 0$ при всех $x$.

2. Так как числитель дроби всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком ее знаменателя.

3. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству $x - 1 < 0$.

4. Решаем это простое линейное неравенство: $x < 1$.

5. При этом условие $x-1 \ne 0$ уже выполняется.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

е) Решим неравенство $\frac{|x| - 4}{5 + x} \ge 0$.

1. Найдем нули числителя: $|x| - 4 = 0 \Rightarrow |x| = 4$. Это дает два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Обе точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое.

2. Найдем нуль знаменателя: $5 + x = 0 \Rightarrow x_3 = -5$. Эта точка исключается.

3. Отметим точки -5, -4, 4 на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы.

4. Определим знак выражения $\frac{|x|-4}{5+x}$ в каждом интервале:

• Интервал $(4, +\infty)$: возьмем $x=5$. $\frac{|5|-4}{5+5} = \frac{1}{10} > 0$. Знак "+".
• Интервал $[-4, 4]$: возьмем $x=0$. $\frac{|0|-4}{5+0} = \frac{-4}{5} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-5, -4]$: возьмем $x=-4.5$. $\frac{|-4.5|-4}{5-4.5} = \frac{4.5-4}{0.5} = 1 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty, -5)$: возьмем $x=-6$. $\frac{|-6|-4}{5-6} = \frac{6-4}{-1} = -2 < 0$. Знак "-".

5. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in (-5, -4] \cup [4, +\infty)$.

8. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

а) $(x + 1)(x - 2)(x - 3) > 0;$

б) $(x + 2)(x + 4)(x - 8) > 0;$

в) $(x + 7)(x + 1)(x - 6)^2 < 0;$

г) $(x + 3)^2(x - 1)(x - 5) < 0.$

а) Чтобы найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству $(x + 1)(x - 2)(x - 3) > 0$, решим его методом интервалов.

1. Сначала найдем корни левой части, приравняв ее к нулю: $(x + 1)(x - 2)(x - 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.

2. Нанесем эти точки на числовую ось. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$, $(2, 3)$ и $(3, +\infty)$. Так как неравенство строгое, точки на оси будут выколотыми.

3. Определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмем по одной пробной точке из каждого интервала.

• При $x = 4$ (интервал $(3, +\infty)$): $(4+1)(4-2)(4-3) = 5 \cdot 2 \cdot 1 = 10 > 0$. Знак "+".
• Так как все корни имеют нечетную степень (1), знаки в интервалах будут чередоваться.
• Интервал $(2, 3)$: знак "-".
• Интервал $(-1, 2)$: знак "+".
• Интервал $(-\infty, -1)$: знак "-".

4. Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это интервалы $(-1, 2)$ и $(3, +\infty)$.

5. Найдем наименьшее целое число в этих интервалах. В интервале $(-1, 2)$ находятся целые числа $0$ и $1$. Наименьшее из них — $0$. В интервале $(3, +\infty)$ наименьшее целое число — $4$. Из найденных чисел ($0$ и $4$) наименьшим является $0$.

Ответ: 0

б) Решим неравенство $(x + 2)(x + 4)(x - 8) > 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$; $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$; $x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$. Расположим их на оси в порядке возрастания: $-4, -2, 8$.

2. Корни разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, 8)$ и $(8, +\infty)$.

3. Определим знаки. В крайнем правом интервале $(8, +\infty)$ (например, при $x = 10$) выражение $(10+2)(10+4)(10-8)$ положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются.

4. Расстановка знаков по интервалам: $(-\infty, -4) \rightarrow -$; $(-4, -2) \rightarrow +$; $(-2, 8) \rightarrow -$; $(8, +\infty) \rightarrow +$.

5. Нам нужны интервалы со знаком "+": $(-4, -2) \cup (8, +\infty)$.

6. Наименьшее целое число в интервале $(-4, -2)$ — это $-3$. Наименьшее целое число в интервале $(8, +\infty)$ — это $9$. Наименьшее из всех целых решений — это $-3$.

Ответ: -3

в) Решим неравенство $(x + 7)(x + 1)(x - 6)^2 < 0$.

1. Найдем корни: $x_1 = -7$, $x_2 = -1$, $x_3 = 6$.

2. Обратим внимание, что множитель $(x - 6)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=6$ и положителен при всех остальных $x$. Так как неравенство строгое ($< 0$), $x=6$ не является решением. При $x \neq 6$ множитель $(x - 6)^2 > 0$, и на знак выражения не влияет. Таким образом, для $x \neq 6$ неравенство равносильно $(x + 7)(x + 1) < 0$.

3. Решим неравенство $(x + 7)(x + 1) < 0$. Корни $x = -7$ и $x = -1$. Это парабола с ветвями вверх, отрицательные значения находятся между корнями.

4. Решением является интервал $(-7, -1)$.

5. Точка $x=6$ не входит в этот интервал, поэтому дополнительная проверка не требуется.

6. Найдем наименьшее целое число в интервале $(-7, -1)$. Целые числа в этом интервале: $-6, -5, -4, -3, -2$. Наименьшее из них — $-6$.

Ответ: -6

г) Решим неравенство $(x + 3)^2(x - 1)(x - 5) < 0$.

1. Найдем корни: $x_1 = -3$ (кратность 2), $x_2 = 1$, $x_3 = 5$.

2. Множитель $(x + 3)^2$ всегда неотрицателен. При $x=-3$ выражение равно нулю, что не удовлетворяет строгому неравенству. При $x \neq -3$ множитель $(x+3)^2$ положителен и не влияет на знак. Таким образом, при $x \neq -3$ неравенство эквивалентно $(x - 1)(x - 5) < 0$.

3. Решением неравенства $(x - 1)(x - 5) < 0$ является интервал $(1, 5)$, так как это парабола с ветвями вверх, и она отрицательна между корнями.

4. Точка $x=-3$ не входит в полученный интервал, поэтому решение исходного неравенства — это $x \in (1, 5)$.

5. Целые числа, входящие в этот интервал: $2, 3, 4$. Наименьшее из них — $2$.

Ответ: 2

9. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

а) $(x + 1)(x - 4)(x - 5) \le 0;$

б) $(x + 2)(x - 2)(x - 3) < 0;$

в) $(x - 3)(x - 8)^2 \le 0;$

г) $(x + 5)^2(x + 1) < 0.$

а) Для решения неравенства $(x+1)(x-4)(x-5) \le 0$ воспользуемся методом интервалов.

Сначала найдем корни выражения, приравняв его к нулю: $(x+1)(x-4)(x-5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 4$, $x_3 = 5$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными.

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1]$, $[-1; 4]$, $[4; 5]$, $[5; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

- При $x > 5$ (например, $x=6$): $(+)(+)(+) = +$.

- При $x \in [4; 5]$ (например, $x=4.5$): $(+)(+)(-) = -$.

- При $x \in [-1; 4]$ (например, $x=0$): $(+)(-)(-) = +$.

- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-)(-)(-) = -$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это объединение промежутков: $(-\infty; -1] \cup [4; 5]$.

В это объединение входят целые числа ..., -2, -1, а также 4, 5. Наибольшее из них — это 5.

Ответ: 5

б) Для решения неравенства $(x+2)(x-2)(x-3) < 0$ применим метод интервалов.

Найдем нули функции: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<$), точки будут выколотыми.

Прямая разбивается на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определим знаки выражения на интервалах:

- При $x > 3$: $(+)(+)(+) = +$.

- При $x \in (2; 3)$: $(+)(+)(-) = -$.

- При $x \in (-2; 2)$: $(+)(-)(-) = +$.

- При $x < -2$: $(-)(-)(-) = -$.

Нам нужны интервалы, где выражение строго меньше нуля. Решением является объединение $(-\infty; -2) \cup (2; 3)$.

В интервале $(2; 3)$ целых чисел нет. В интервале $(-\infty; -2)$ наибольшим целым числом является -3.

Следовательно, наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, это -3.

Ответ: -3

в) Рассмотрим неравенство $(x-3)(x-8)^2 \le 0$.

Множитель $(x-8)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x-8)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Произведение будет меньше или равно нулю в двух случаях:

1. Когда произведение равно нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю: $x-3=0$ или $x-8=0$. Отсюда $x=3$ или $x=8$. Оба этих значения являются решениями.

2. Когда произведение строго меньше нуля. Поскольку $(x-8)^2 > 0$ при $x \neq 8$, для отрицательности всего выражения необходимо, чтобы первый множитель был отрицательным: $x-3 < 0$, что дает $x < 3$.

Объединяя все полученные решения, получаем $x \in (-\infty; 3] \cup \{8\}$.

Целые числа, входящие в это множество, это ..., 1, 2, 3, а также число 8. Наибольшее из них — это 8.

Ответ: 8

г) Рассмотрим неравенство $(x+5)^2(x+1) < 0$.

Множитель $(x+5)^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, то случай равенства нулю нас не интересует. Следовательно, $(x+5)^2 > 0$, что выполняется при $x \neq -5$.

Поскольку первый множитель $(x+5)^2$ положителен, то для того, чтобы все произведение было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным:

$x+1 < 0$

$x < -1$

Итак, мы имеем систему из двух условий:

$ \begin{cases} x < -1 \\ x \neq -5 \end{cases} $

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -5) \cup (-5; -1)$.

Целые числа, принадлежащие этому множеству: ..., -7, -6, а также -4, -3, -2. Наибольшим из этих целых чисел является -2.

Ответ: -2

10. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 6x - 16 < 0, \\ x - 5 \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 2x - 24 \ge 0, \\ 3 - x > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \le 0, \\ x^2 - 5x + 6 \ge 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 28 < 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 6x - 16 < 0, \\ x - 5 \ge 0;\end{cases}$

1. Сначала решим первое неравенство $x^2 - 6x - 16 < 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x - 16$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $x^2 - 6x - 16 < 0$ выполняется между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-2, 8)$.

2. Теперь решим второе неравенство $x - 5 \ge 0$.

$x \ge 5$.

Решение второго неравенства: $x \in [5, +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $(-2, 8) \cap [5, +\infty)$.

Общим решением является интервал, где оба условия выполняются одновременно, то есть $x \in [5, 8)$.

Ответ: $x \in [5, 8)$.

б) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 2x - 24 \ge 0, \\ 3 - x > 0;\end{cases}$

1. Решим первое неравенство $x^2 + 2x - 24 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 24 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 24$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 24 \ge 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -6] \cup [4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $3 - x > 0$.

$-x > -3$, что эквивалентно $x < 3$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -6] \cup [4, +\infty)) \cap (-\infty, 3)$.

Пересечение интервала $(-\infty, 3)$ с $(-\infty, -6]$ дает $(-\infty, -6]$.

Пересечение интервала $(-\infty, 3)$ с $[4, +\infty)$ является пустым множеством.

Таким образом, общее решение: $x \in (-\infty, -6]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6]$.

в) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \le 0, \\ x^2 - 5x + 6 > 0;\end{cases}$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 5x + 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 4 \le 0$ выполняется между корнями, включая их.

Решение первого неравенства: $x \in [1, 4]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 5x + 6 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 6 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $[1, 4] \cap ((-\infty, 2) \cup (3, +\infty))$.

Это равносильно объединению двух пересечений:

- $[1, 4] \cap (-\infty, 2) = [1, 2)$

- $[1, 4] \cap (3, +\infty) = (3, 4]$

Общее решение системы: $x \in [1, 2) \cup (3, 4]$.

Ответ: $x \in [1, 2) \cup (3, 4]$.

г) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 28 < 0.\end{cases}$

1. Решим первое неравенство $9 - x^2 \ge 0$. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 9 \le 0$.

Разложим на множители: $(x-3)(x+3) \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 9 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, включая их.

Решение первого неравенства: $x \in [-3, 3]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 3x - 28 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 28 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$.

Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 - 11}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 + 11}{2} = 4$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-7, 4)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-3, 3] \cap (-7, 4)$.

Очевидно, что все числа из отрезка $[-3, 3]$ также содержатся в интервале $(-7, 4)$.

Следовательно, общее решение: $x \in [-3, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, 3]$.

11. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданных системой неравенств:

а) $\begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - x^2 \le 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ |x| + 1 \ge 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y^2 + x^2 < 16 \\ 2x - 1 \le 0 \end{cases}$

д) $\begin{cases} y + x^2 < 0 \\ y^2 + x^2 \le 4 \end{cases}$

е) $\begin{cases} 1 - x^2 \le 0 \\ 1 + |x| < 0 \end{cases}$

а) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} x^2 - 3x > 0, \\ x - 4 < 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 3x > 0$. Разложим на множители: $x(x-3) > 0$. Корнями соответствующего уравнения $x(x-3)=0$ являются $x=0$ и $x=3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при значениях $x$ вне корней, то есть $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$. На координатной плоскости это соответствует двум открытым вертикальным полосам: все точки левее оси ординат ($x=0$) и все точки правее прямой $x=3$.

Решим второе неравенство: $x - 4 < 0$, что эквивалентно $x < 4$. На координатной плоскости это открытая полуплоскость, расположенная левее вертикальной прямой $x=4$.

Решением системы является пересечение найденных множеств. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $(x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty))$ и $(x < 4)$. Пересекая эти множества, получаем $x \in (-\infty, 0) \cup (3, 4)$.

Ответ: Искомое множество точек на координатной плоскости представляет собой объединение двух открытых вертикальных полос. Первая полоса задается неравенством $x<0$ (все точки левее оси $y$), а вторая — двойным неравенством $3<x<4$ (все точки между прямыми $x=3$ и $x=4$). Границы полос не включаются в решение.

б) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} 2x - x^2 \le 0, \\ 3 - x > 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x - x^2 \le 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 2x \ge 0$. Разложим на множители: $x(x-2) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$. На координатной плоскости это соответствует двум замкнутым вертикальным полосам: область, включающая ось $y$ и все точки левее нее ($x \le 0$), и область, включающая прямую $x=2$ и все точки правее нее ($x \ge 2$).

Решим второе неравенство: $3 - x > 0$, что эквивалентно $x < 3$. Это открытая полуплоскость левее прямой $x=3$.

Решением системы является пересечение этих множеств: $(x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)) \cap (x < 3)$. Пересекая множества, получаем $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3)$.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение двух вертикальных полос. Первая полоса — это замкнутая полуплоскость $x \le 0$ (ось ординат и все точки левее нее). Вторая полоса — это область, заключенная между прямыми $x=2$ и $x=3$, причем граница $x=2$ включается в множество, а граница $x=3$ — нет.

в) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} x^2 - 1 > 0, \\ |x| + 1 \ge 0; \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 1 > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Это две открытые полуплоскости: все точки левее прямой $x=-1$ и все точки правее прямой $x=1$.

Рассмотрим второе неравенство: $|x| + 1 \ge 0$. По определению, модуль любого действительного числа $|x|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x| \ge 0$. Следовательно, $|x| + 1 \ge 1 > 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$. Множество его решений — вся координатная плоскость.

Решением системы является пересечение множества решений первого неравенства и всей координатной плоскости, то есть само множество решений первого неравенства.

Ответ: Искомое множество точек представляет собой объединение двух открытых полуплоскостей, заданных условиями $x < -1$ и $x > 1$. Границы $x=-1$ и $x=1$ не включаются в решение.

г) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} y^2 + x^2 < 16, \\ 2x - 1 \le 0; \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + y^2 < 4^2$ задает множество точек внутри окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=4$. Граница окружности (сама окружность) в это множество не входит. Это открытый круг.

Второе неравенство $2x - 1 \le 0$ преобразуется к виду $2x \le 1$, или $x \le 0.5$. Это множество точек, лежащих на прямой $x=0.5$ и левее нее. Это замкнутая полуплоскость.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — та часть открытого круга, которая лежит в замкнутой полуплоскости $x \le 0.5$.

Ответ: Искомое множество точек является сегментом круга. Оно ограничено дугой окружности $x^2+y^2=16$ (для $x < 0.5$) и отрезком прямой $x=0.5$. При этом дуга окружности не включается в множество, а отрезок прямой, являющийся хордой круга, включается.

д) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} y + x^2 < 0, \\ y^2 + x^2 \le 4; \end{cases}$

Первое неравенство $y + x^2 < 0$ эквивалентно $y < -x^2$. Уравнение $y = -x^2$ задает параболу с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз. Неравенство $y < -x^2$ задает множество точек, расположенных строго под этой параболой.

Второе неравенство $x^2 + y^2 \le 2^2$ задает множество точек внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Это замкнутый круг.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: та часть замкнутого круга радиусом 2, которая одновременно находится ниже параболы $y=-x^2$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная сверху дугой параболы $y=-x^2$ и снизу дугой окружности $x^2+y^2=4$. При этом дуга параболы, являющаяся частью границы, не входит в искомое множество, а дуга окружности — входит.

е) Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} 1 - x^2 \le 0, \\ 1 + |x| < 0. \end{cases}$

Рассмотрим второе неравенство: $1 + |x| < 0$, что эквивалентно $|x| < -1$. По определению, модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$). Неравенство, в котором неотрицательная величина должна быть меньше отрицательного числа, не имеет решений ни при каком значении $x$. Множество решений этого неравенства — пустое множество $\emptyset$.

Поскольку одно из неравенств в системе не имеет решений, то и вся система не имеет решений. Пересечение любого множества с пустым множеством дает пустое множество.

Ответ: Система неравенств не имеет решений. Искомое множество точек на координатной плоскости является пустым.

12. Постройте график функции и найдите множество значений:

а) $y = x^2 - 8x;$

б) $y = -x^2 + 7x;$

в) $y = \sqrt{x+1} + 1;$

г) $y = 2 - \sqrt{x+2};$

д) $y = x^2 - |x|;$

е) $y = -x^2 + |x|.$

а)

Функция $y = x^2 - 8x$ является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем координаты вершины параболы по формуле $x_в = -b/(2a)$, $y_в = y(x_в)$. $x_в = -(-8) / (2 \cdot 1) = 4$.

$y_в = (4)^2 - 8(4) = 16 - 32 = -16$.

Вершина параболы находится в точке $(4; -16)$.

Найдем точки пересечения с осями координат: При $x = 0$, $y = 0$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 0)$. При $y = 0$, $x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(x-8)=0$, откуда $x_1=0$, $x_2=8$. Точки пересечения с осью OX: $(0; 0)$ и $(8; 0)$. График — парабола с вершиной в точке $(4; -16)$, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(8; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции достигается в вершине. Следовательно, множество значений функции (или область значений) — это все значения $y$, начиная от $-16$ и до бесконечности.

Ответ: $E(y) = [-16; +\infty)$.

б)

Функция $y = -x^2 + 7x$ является квадратичной. Ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -7 / (2 \cdot (-1)) = 3.5$.

$y_в = -(3.5)^2 + 7(3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25$.

Вершина параболы находится в точке $(3.5; 12.25)$.

Найдем точки пересечения с осями координат: При $x = 0$, $y = 0$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 0)$. При $y = 0$, $-x^2 + 7x = 0 \Rightarrow x(-x+7)=0$, откуда $x_1=0$, $x_2=7$. Точки пересечения с осью OX: $(0; 0)$ и $(7; 0)$. График — парабола с вершиной в точке $(3.5; 12.25)$, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(7; 0)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции достигается в вершине. Следовательно, множество значений функции — это все значения $y$ от минус бесконечности до $12.25$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 12.25]$.

в)

Функция $y = \sqrt{x+1} + 1$. График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево по оси OX и на 1 единицу вверх по оси OY.

Область определения функции: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

Начальная точка графика находится при $x=-1$. $y(-1) = \sqrt{-1+1} + 1 = 1$. Точка $(-1; 1)$.

Найдем еще одну точку для построения: при $x=3$, $y=\sqrt{3+1}+1=3$. Точка $(3; 3)$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-1; 1)$ и идущую вправо и вверх.

Значение выражения $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательно, т.е. $\sqrt{x+1} \ge 0$. Тогда $y = \sqrt{x+1} + 1 \ge 0+1=1$. Наименьшее значение функции равно $1$.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

г)

Функция $y = 2 - \sqrt{x+2}$. График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ следующими преобразованиями: сдвиг на 2 единицы влево, симметричное отражение относительно оси OX, и сдвиг на 2 единицы вверх.

Область определения функции: $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.

Начальная точка графика находится при $x=-2$. $y(-2) = 2 - \sqrt{-2+2} = 2$. Точка $(-2; 2)$.

Найдем еще одну точку для построения: при $x=2$, $y = 2 - \sqrt{2+2} = 2 - 2 = 0$. Точка $(2; 0)$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-2; 2)$ и идущую вправо и вниз.

Значение выражения $\sqrt{x+2} \ge 0$, следовательно $-\sqrt{x+2} \le 0$. Тогда $y = 2 - \sqrt{x+2} \le 2-0 = 2$. Наибольшее значение функции равно $2$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2]$.

д)

Функция $y = x^2 - |x|$. Это четная функция, так как $y(-x) = (-x)^2 - |-x| = x^2 - |x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

Раскроем модуль:

1) Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и функция принимает вид $y = x^2 - x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_в = -(-1)/2 = 0.5$, $y_в = (0.5)^2 - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25$. Вершина $(0.5; -0.25)$.

2) Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = x^2 + x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_в = -1/2 = -0.5$, $y_в = (-0.5)^2 - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25$. Вершина $(-0.5; -0.25)$.

График состоит из двух частей парабол, симметричных относительно оси OY. В точке $(0,0)$ они соединяются. Минимальное значение функции достигается в двух точках: $(0.5; -0.25)$ и $(-0.5; -0.25)$. Это значение равно $-0.25$.

Ответ: $E(y) = [-0.25; +\infty)$.

е)

Функция $y = -x^2 + |x|$. Это четная функция, так как $y(-x) = -(-x)^2 + |-x| = -x^2 + |x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

Раскроем модуль:

1) Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и функция принимает вид $y = -x^2 + x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_в = -1/(2 \cdot (-1)) = 0.5$, $y_в = -(0.5)^2 + 0.5 = -0.25 + 0.5 = 0.25$. Вершина $(0.5; 0.25)$.

2) Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = -x^2 - x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_в = -(-1)/(2 \cdot (-1)) = -0.5$, $y_в = -(-0.5)^2 - (-0.5) = -0.25 + 0.5 = 0.25$. Вершина $(-0.5; 0.25)$.

График состоит из двух частей парабол, симметричных относительно оси OY. В точке $(0,0)$ они соединяются. Максимальное значение функции достигается в двух точках: $(0.5; 0.25)$ и $(-0.5; 0.25)$. Это значение равно $0.25$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0.25]$.

13. а) Первое натуральное число составляет 75% от второго натурального числа. Найдите натуральные числа, если значение их произведений равно 1200;

б) если числитель дроби увеличить на 2, а знаменатель на 3, то получим дробь на $\frac{49}{35}$ больше данной дроби. Найдите первоначальную дробь;

в) значение суммы цифр двузначного числа равно 9, а значение разности квадратов его цифр равно 27. Найдите двузначное число;

г) катер проплыл по течению реки 36 км, против течения 48 км. На весь путь потрачено 6 ч времени. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч;

д) промежуток 180 км первый поезд проходит на 1,5 ч быстрее, чем второй поезд. Найдите скорость каждого поезда, если поезда вместе за 3 ч проезжают 162 км.

а) Пусть первое натуральное число равно $x$, а второе натуральное число равно $y$.

Из условия задачи известно, что первое число составляет 75% от второго, что можно записать в виде уравнения:$x = 0.75y$ или $x = \frac{3}{4}y$.

Также известно, что произведение этих чисел равно 1200:$x \cdot y = 1200$.

Подставим первое уравнение во второе:$(\frac{3}{4}y) \cdot y = 1200$

$\frac{3}{4}y^2 = 1200$

$y^2 = \frac{1200 \cdot 4}{3}$

$y^2 = 400 \cdot 4$

$y^2 = 1600$

Так как $y$ — натуральное число, $y = \sqrt{1600} = 40$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:$x = \frac{3}{4} \cdot 40 = 3 \cdot 10 = 30$.

Искомые натуральные числа — 30 и 40.Проверка: $30 \cdot 40 = 1200$. $30 / 40 = 0.75 = 75\%$.

Ответ: 30 и 40.

б) Пусть первоначальная дробь равна $\frac{x}{y}$.

Если числитель увеличить на 2, а знаменатель на 3, получим новую дробь $\frac{x+2}{y+3}$.

В условии сказано, что новая дробь на $\frac{49}{35}$ больше данной. Запишем уравнение:$\frac{x+2}{y+3} = \frac{x}{y} + \frac{49}{35}$.

Упростим дробь $\frac{49}{35} = \frac{7}{5}$.$\frac{x+2}{y+3} = \frac{x}{y} + \frac{7}{5}$.

Преобразуем уравнение:$\frac{x+2}{y+3} - \frac{x}{y} = \frac{7}{5}$

$\frac{y(x+2) - x(y+3)}{y(y+3)} = \frac{7}{5}$

$\frac{xy+2y-xy-3x}{y^2+3y} = \frac{7}{5}$

$\frac{2y-3x}{y^2+3y} = \frac{7}{5}$

$5(2y-3x) = 7(y^2+3y)$

$10y - 15x = 7y^2 + 21y$

$7y^2 + 11y + 15x = 0$

Для натуральных (положительных) чисел $x$ и $y$ сумма $7y^2 + 11y + 15x$ всегда будет положительной и не может равняться нулю. Это означает, что в условии задачи, скорее всего, опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в значении $\frac{49}{35}$. Предположим, что имелось в виду $\frac{4}{35}$.

Тогда уравнение примет вид:$\frac{2y-3x}{y^2+3y} = \frac{4}{35}$

$35(2y-3x) = 4(y^2+3y)$

$70y - 105x = 4y^2 + 12y$

$105x = 58y - 4y^2$

$105x = 2y(29-2y)$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, $x > 0$, следовательно $29-2y > 0$, что означает $2y < 29$ или $y \le 14$.

Правая часть $2y(29-2y)$ должна быть делимой на 105, то есть на 3, 5 и 7.Проверим возможные значения $y$ от 1 до 14.Если $y=7$:$105x = 2 \cdot 7 \cdot (29 - 2 \cdot 7) = 14 \cdot (29 - 14) = 14 \cdot 15 = 210$.

$x = \frac{210}{105} = 2$.

Получили натуральные $x=2$ и $y=7$. Первоначальная дробь — $\frac{2}{7}$.

Проверка: новая дробь $\frac{2+2}{7+3} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Разность $\frac{2}{5} - \frac{2}{7} = \frac{14-10}{35} = \frac{4}{35}$. Условие выполнено.

Ответ: $\frac{2}{7}$.

в) Пусть двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Значение числа равно $10a+b$.Из условия задачи имеем систему уравнений:1. Сумма цифр равна 9: $a+b=9$.2. Разность квадратов цифр равна 27: $a^2-b^2=27$. (Так как разность положительна, квадрат цифры десятков больше квадрата цифры единиц, $a > b$).

Разложим второе уравнение по формуле разности квадратов:$(a-b)(a+b)=27$.

Подставим в это уравнение значение $a+b$ из первого уравнения:$(a-b) \cdot 9 = 27$.

$a-b = \frac{27}{9} = 3$.

Теперь у нас есть простая система из двух линейных уравнений:$\begin{cases} a+b=9 \\ a-b=3 \end{cases}$

Сложим два уравнения:$(a+b)+(a-b) = 9+3$

$2a = 12$

$a = 6$.

Подставим значение $a$ в первое уравнение:$6+b=9$

$b=3$.

Цифра десятков равна 6, цифра единиц равна 3. Искомое число — 63.

Ответ: 63.

г) Пусть $v_c$ — собственная скорость катера в км/ч. Скорость течения реки $v_p = 3$ км/ч.

Скорость катера по течению: $v_{по} = v_c + v_p = v_c + 3$ км/ч.

Скорость катера против течения: $v_{против} = v_c - v_p = v_c - 3$ км/ч. (При этом $v_c > 3$).

Время движения по течению: $t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{36}{v_c+3}$ ч.

Время движения против течения: $t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{48}{v_c-3}$ ч.

Общее время в пути составляет 6 часов:$t_{по} + t_{против} = 6$

$\frac{36}{v_c+3} + \frac{48}{v_c-3} = 6$.

Разделим все уравнение на 6 для упрощения:$\frac{6}{v_c+3} + \frac{8}{v_c-3} = 1$.

Приведем к общему знаменателю $(v_c+3)(v_c-3)$:$6(v_c-3) + 8(v_c+3) = (v_c+3)(v_c-3)$

$6v_c - 18 + 8v_c + 24 = v_c^2 - 9$

$14v_c + 6 = v_c^2 - 9$

$v_c^2 - 14v_c - 15 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$.

$v_c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{14 \pm 16}{2}$.

Получаем два корня:$v_{c1} = \frac{14+16}{2} = \frac{30}{2} = 15$.$v_{c2} = \frac{14-16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_c = 15$ км/ч. Это значение удовлетворяет условию $v_c > 3$.

Ответ: 15 км/ч.

д) Пусть $v_1$ — скорость первого поезда (в км/ч), а $v_2$ — скорость второго поезда (в км/ч).

Из первого условия: время первого поезда для прохождения 180 км ($t_1 = \frac{180}{v_1}$) на 1,5 часа меньше времени второго ($t_2 = \frac{180}{v_2}$):$\frac{180}{v_2} - \frac{180}{v_1} = 1.5$.

Из второго условия: вместе за 3 часа поезда проезжают 162 км. Это означает, что сумма их скоростей, умноженная на 3, равна 162:$3(v_1 + v_2) = 162$.

Из второго уравнения находим сумму скоростей:$v_1 + v_2 = \frac{162}{3} = 54$.

Отсюда $v_1 = 54 - v_2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:$\frac{180}{v_2} - \frac{180}{54 - v_2} = 1.5$.

Разделим уравнение на 1.5 (или умножим на 2/3):$\frac{120}{v_2} - \frac{120}{54 - v_2} = 1$.

Приведем к общему знаменателю $v_2(54-v_2)$:$120(54 - v_2) - 120v_2 = v_2(54 - v_2)$

$6480 - 120v_2 - 120v_2 = 54v_2 - v_2^2$

$6480 - 240v_2 = 54v_2 - v_2^2$

$v_2^2 - 294v_2 + 6480 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-294)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6480 = 86436 - 25920 = 60516$.

$\sqrt{D} = \sqrt{60516} = 246$.

$v_2 = \frac{294 \pm 246}{2}$.

Получаем два корня для $v_2$:$v_{2_a} = \frac{294+246}{2} = \frac{540}{2} = 270$.$v_{2_b} = \frac{294-246}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

Рассмотрим оба случая:1. Если $v_2 = 270$ км/ч, то $v_1 = 54 - 270 = -216$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, этот корень не подходит.2. Если $v_2 = 24$ км/ч, то $v_1 = 54 - 24 = 30$ км/ч. Оба значения положительны и являются решением.

Проверка: $t_1 = 180/30 = 6$ ч. $t_2 = 180/24 = 7.5$ ч. $t_2 - t_1 = 7.5 - 6 = 1.5$ ч. Условие выполняется.

Ответ: скорость первого поезда 30 км/ч, скорость второго поезда 24 км/ч.