Страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17. a) Найдите $\cos \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$;

б) найдите $\sin \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$, если $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$.

18. Упростите выражение:

а)

По условию задачи даны значения $ \cos\alpha = \frac{3}{5} $ и $ \sin2\alpha = -\frac{24}{25} $. Необходимо найти $ \cos\alpha $ и $ \tan\alpha $.

Значение косинуса уже указано в условии: $ \cos\alpha = \frac{3}{5} $.

Для того чтобы найти тангенс, воспользуемся определением $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $. Для этого нам сначала нужно определить значение $ \sin\alpha $.

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Подставим известные значения в эту формулу:

$ -\frac{24}{25} = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \frac{3}{5} $

Упростим полученное выражение:

$ -\frac{24}{25} = \frac{6}{5}\sin\alpha $

Теперь выразим $ \sin\alpha $:

$ \sin\alpha = -\frac{24}{25} \cdot \frac{5}{6} = -\frac{4 \cdot 6 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 6} = -\frac{4}{5} $

Зная $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $, мы можем вычислить тангенс:

$ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{3} $

Ответ: $ \cos\alpha = \frac{3}{5}, \tan\alpha = -\frac{4}{3} $.

б)

По условию задачи даны значения $ \sin\alpha = -\frac{4}{5} $ и $ \sin2\alpha = -\frac{24}{25} $. Необходимо найти $ \sin\alpha $ и $ \cot\alpha $.

Значение синуса уже указано в условии: $ \sin\alpha = -\frac{4}{5} $.

Для того чтобы найти котангенс, воспользуемся определением $ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $. Для этого нам сначала нужно определить значение $ \cos\alpha $.

Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим $ \cos^2\alpha $ и подставим известное значение $ \sin\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $

Из этого следует, что $ \cos\alpha $ может быть равен $ \frac{3}{5} $ или $ -\frac{3}{5} $. Чтобы определить правильный знак, воспользуемся вторым условием, $ \sin2\alpha = -\frac{24}{25} $.

Подставим известные значения в формулу синуса двойного угла $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ -\frac{24}{25} = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \cos\alpha $

Упростим выражение:

$ -\frac{24}{25} = -\frac{8}{5}\cos\alpha $

Теперь выразим $ \cos\alpha $:

$ \cos\alpha = \left(-\frac{24}{25}\right) \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) = \frac{24 \cdot 5}{25 \cdot 8} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{3}{5} $

Итак, мы определили, что $ \cos\alpha = \frac{3}{5} $.

Теперь мы можем вычислить котангенс:

$ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} $

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{4}{5}, \cot\alpha = -\frac{3}{4} $.

18. Упростите выражение:

а) $ \frac{4 \cos 4 \alpha}{\operatorname{ctg} 2 \alpha - \operatorname{tg} 2 \alpha} $

б) $ \frac{\sin 2 \alpha + \operatorname{tg} 2 \alpha}{1 + \cos 2 \alpha} $

в) $ \frac{\operatorname{ctg}^2 2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} 2 \alpha} $

г) $ \frac{\cos 4 \alpha + \sin^2 2 \alpha}{0.5 \sin 4 \alpha} $

д) $ \frac{\sin(2 \pi - 2 \alpha)}{\cos(\alpha + \pi) \cdot \operatorname{ctg}\left(\alpha - \frac{3 \pi}{2}\right)} $

е) $ \frac{2 - 2 \sin^2 (\alpha + 0.5 \pi)}{1 - \cos(\alpha - \pi)} - 2 \sin(\alpha + 1.5 \pi) $

ж) $ \frac{\cos(\pi + \alpha) \cdot \cos(1.5 - 2 \alpha)}{2 \operatorname{ctg}(\alpha + 0.5 \pi)} $

з) $ \frac{2 \sin^2 (\alpha - 2 \pi) - 2}{\cos(\alpha + 1.5 \pi) - 1} - 2 \cos(1.5 \pi + \alpha) $

а) $\frac{4\cos4\alpha}{\ctg2\alpha - \tg2\alpha}$

Преобразуем знаменатель, используя определения котангенса и тангенса: $\ctg2\alpha - \tg2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} - \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{\cos^22\alpha - \sin^22\alpha}{\sin2\alpha\cos2\alpha}$.

В числителе получилась формула косинуса двойного угла: $\cos^22\alpha - \sin^22\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos4\alpha$.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $\sin2\alpha\cos2\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin4\alpha$.

Таким образом, знаменатель дроби равен: $\frac{\cos4\alpha}{\frac{1}{2}\sin4\alpha} = \frac{2\cos4\alpha}{\sin4\alpha}$.

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь: $\frac{4\cos4\alpha}{\frac{2\cos4\alpha}{\sin4\alpha}} = 4\cos4\alpha \cdot \frac{\sin4\alpha}{2\cos4\alpha} = 2\sin4\alpha$.

Ответ: $2\sin4\alpha$

б) $\frac{\sin2\alpha + \tg2\alpha}{1 + \cos2\alpha}$

Вынесем $\sin2\alpha$ за скобки в числителе: $\sin2\alpha + \tg2\alpha = \sin2\alpha + \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \sin2\alpha (1 + \frac{1}{\cos2\alpha}) = \sin2\alpha \frac{\cos2\alpha + 1}{\cos2\alpha}$.

Подставим это в исходное выражение: $\frac{\sin2\alpha \frac{1 + \cos2\alpha}{\cos2\alpha}}{1 + \cos2\alpha}$.

Сократим $(1 + \cos2\alpha)$: $\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \tg2\alpha$.

Ответ: $\tg2\alpha$

в) $\frac{\ctg^22\alpha - 1}{2\ctg2\alpha}$

Данное выражение представляет собой формулу котангенса двойного угла: $\ctg(2x) = \frac{\ctg^2x - 1}{2\ctg x}$.

В нашем случае $x = 2\alpha$.

Следовательно, выражение равно $\ctg(2 \cdot 2\alpha) = \ctg4\alpha$.

Ответ: $\ctg4\alpha$

г) $\frac{\cos4\alpha + \sin^22\alpha}{0,5\sin4\alpha}$

Используем формулу косинуса двойного угла для числителя: $\cos4\alpha = \cos^22\alpha - \sin^22\alpha$.

Числитель становится: $\cos^22\alpha - \sin^22\alpha + \sin^22\alpha = \cos^22\alpha$.

Преобразуем знаменатель, используя формулу синуса двойного угла: $0,5\sin4\alpha = 0,5 \cdot 2\sin2\alpha\cos2\alpha = \sin2\alpha\cos2\alpha$.

Получаем дробь: $\frac{\cos^22\alpha}{\sin2\alpha\cos2\alpha}$.

Сокращаем на $\cos2\alpha$: $\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} = \ctg2\alpha$.

Ответ: $\ctg2\alpha$

д) $\frac{\sin(2\pi - 2\alpha)}{\cos(\alpha + \pi) \cdot \ctg(\alpha - \frac{3\pi}{2})}$

Применим формулы приведения:

$\sin(2\pi - 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$

$\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$

$\ctg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \ctg(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -\ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\tg\alpha$

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{-\sin(2\alpha)}{(-\cos\alpha) \cdot (-\tg\alpha)} = \frac{-\sin(2\alpha)}{\cos\alpha \cdot \tg\alpha}$.

Так как $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, знаменатель равен $\cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha$.

Дробь принимает вид: $\frac{-\sin(2\alpha)}{\sin\alpha}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$: $\frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = -2\cos\alpha$.

Ответ: $-2\cos\alpha$

е) $\frac{2 - 2\sin^2(\alpha + 0,5\pi)}{1 - \cos(\alpha - \pi)} - 2\sin(\alpha + 1,5\pi)$

Упростим первое слагаемое (дробь). Числитель: $2 - 2\sin^2(\alpha + \frac{\pi}{2}) = 2(1 - \sin^2(\alpha + \frac{\pi}{2})) = 2\cos^2(\alpha + \frac{\pi}{2})$.

По формуле приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha$, поэтому числитель равен $2(-\sin\alpha)^2 = 2\sin^2\alpha$.

Знаменатель: $1 - \cos(\alpha - \pi) = 1 - \cos(\pi - \alpha) = 1 - (-\cos\alpha) = 1 + \cos\alpha$.

Дробь: $\frac{2\sin^2\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{2(1-\cos^2\alpha)}{1+\cos\alpha} = \frac{2(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{1+\cos\alpha} = 2(1-\cos\alpha)$.

Упростим второе слагаемое: $-2\sin(\alpha + 1,5\pi) = -2\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2})$.

По формуле приведения $\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\cos\alpha$, поэтому второе слагаемое равно $-2(-\cos\alpha) = 2\cos\alpha$.

Сложим результаты: $2(1-\cos\alpha) + 2\cos\alpha = 2 - 2\cos\alpha + 2\cos\alpha = 2$.

Ответ: $2$

ж) $\frac{\cos(\pi + \alpha) \cdot \cos(1,5\pi - 2\alpha)}{2\ctg(\alpha + 0,5\pi)}$

Применим формулы приведения к каждому множителю.

$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$.

$\cos(1,5\pi - 2\alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$.

$\ctg(\alpha + 0,5\pi) = \ctg(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\tg\alpha$.

Подставляем в выражение: $\frac{(-\cos\alpha) \cdot (-\sin(2\alpha))}{2(-\tg\alpha)} = \frac{\cos\alpha \cdot \sin(2\alpha)}{-2\tg\alpha}$.

Используем формулу $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$: $\frac{\cos\alpha \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha)}{-2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\sin\alpha\cos^2\alpha}{-2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$.

Сокращаем $2\sin\alpha$: $\frac{\cos^2\alpha}{-\frac{1}{\cos\alpha}} = -\cos^2\alpha \cdot \cos\alpha = -\cos^3\alpha$.

Ответ: $-\cos^3\alpha$

з) $\frac{2\sin^2(\alpha - 2\pi) - 2}{\cos(\alpha + 1,5\pi) - 1} - 2\cos(1,5\pi + \alpha)$

Упростим первое слагаемое (дробь). Используем периодичность синуса $\sin(\alpha - 2\pi) = \sin\alpha$.

Числитель: $2\sin^2\alpha - 2 = -2(1 - \sin^2\alpha) = -2\cos^2\alpha$.

Знаменатель: $\cos(\alpha + 1,5\pi) - 1 = \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) - 1$. По формуле приведения $\cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin\alpha$. Знаменатель равен $\sin\alpha - 1$.

Дробь: $\frac{-2\cos^2\alpha}{\sin\alpha - 1}$. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = (1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)$.

$\frac{-2(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha - 1} = \frac{2(\sin\alpha - 1)(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha - 1} = 2(1+\sin\alpha)$.

Упростим второе слагаемое: $-2\cos(1,5\pi + \alpha) = -2\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$. По формуле приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$.

Второе слагаемое равно $-2\sin\alpha$.

Соберем все вместе: $2(1+\sin\alpha) - 2\sin\alpha = 2 + 2\sin\alpha - 2\sin\alpha = 2$.

Ответ: $2$

19. Докажите тождество:

a) $\frac{\sin3\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} \cdot \cos^2(2\alpha) = 0.5;$

б) $\frac{\sin3\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha - \cos3\alpha} \cdot \sin^2(2\alpha) - 0.5 = 0;$

в) $\frac{\sin3\alpha \cos\alpha - \sin\alpha \cos3\alpha}{0.5 \cos(2\alpha) \sin(4\alpha)} - \tan^2\alpha = 1;$

г) $\frac{\sin3\beta \sin6\beta}{\cos(4\beta) \cos\beta - \sin(4\beta) \sin\beta} + 2 \cos^2(3\beta) = 1.$

а) Преобразуем левую часть тождества $\frac{\sin3\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} \cdot \cos^22\alpha = 0,5$.

Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов (преобразование суммы в произведение):

$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Для числителя дроби:

$\sin3\alpha + \sin\alpha = 2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin2\alpha\cos\alpha$

Для знаменателя дроби (сначала поменяем слагаемые местами для удобства):

$\cos\alpha + \cos3\alpha = \cos3\alpha + \cos\alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{2\sin2\alpha\cos\alpha}{2\cos2\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \tan2\alpha$

Теперь умножим на оставшийся член выражения:

$\tan2\alpha \cdot \cos^22\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} \cdot \cos^22\alpha = \sin2\alpha\cos2\alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получим:

$\sin2\alpha\cos2\alpha = \frac{1}{2}(2\sin2\alpha\cos2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin4\alpha$

Левая часть тождества равна $\frac{1}{2}\sin4\alpha$. Это выражение равно 0,5 только при условии $\sin4\alpha = 1$, что не выполняется для всех значений $\alpha$. Следовательно, исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Левая часть равна $\frac{1}{2}\sin4\alpha$.

б) Преобразуем левую часть тождества $\frac{\sin3\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha - \cos3\alpha} \cdot \sin^22\alpha - 0,5 = 0$, что эквивалентно доказательству $\frac{\sin3\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha - \cos3\alpha} \cdot \sin^22\alpha = 0,5$.

Применим формулы разности синусов и разности косинусов:

$\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

Для числителя дроби:

$\sin3\alpha - \sin\alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\sin\alpha$

Для знаменателя дроби:

$\cos\alpha - \cos3\alpha = -2 \sin\frac{\alpha+3\alpha}{2} \sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = -2\sin2\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin2\alpha\sin\alpha$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{2\cos2\alpha\sin\alpha}{2\sin2\alpha\sin\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} = \cot2\alpha$

Теперь умножим на оставшийся член выражения:

$\cot2\alpha \cdot \sin^22\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} \cdot \sin^22\alpha = \cos2\alpha\sin2\alpha$

Как и в пункте а), это выражение равно $\frac{1}{2}\sin4\alpha$.

Левая часть тождества равна $\frac{1}{2}\sin4\alpha$. Это выражение равно 0,5 только при условии $\sin4\alpha = 1$, что не выполняется для всех значений $\alpha$. Следовательно, исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Левая часть равна $\frac{1}{2}\sin4\alpha$.

в) В данном тождестве $\frac{\sin3\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos3\alpha}{0,5\cos2\alpha\sin4\alpha} - \tan^2\alpha = 1$, по всей видимости, допущена опечатка. Если заменить $\tan^2\alpha$ на $\tan^2(2\alpha)$, тождество становится верным. Докажем исправленное тождество:

$\frac{\sin3\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos3\alpha}{0,5\cos2\alpha\sin4\alpha} - \tan^2(2\alpha) = 1$

Преобразуем числитель дроби, используя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:

$\sin3\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos3\alpha = \sin(3\alpha-\alpha) = \sin2\alpha$

Преобразуем знаменатель, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$0,5\cos2\alpha\sin4\alpha = \frac{1}{2}\cos2\alpha\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\cos2\alpha(2\sin2\alpha\cos2\alpha) = \sin2\alpha\cos^22\alpha$

Теперь преобразуем всю дробь:

$\frac{\sin2\alpha}{\sin2\alpha\cos^22\alpha} = \frac{1}{\cos^22\alpha}$

Подставим полученное выражение в левую часть исправленного тождества:

$\frac{1}{\cos^22\alpha} - \tan^2(2\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $1+\tan^2x = \sec^2x = \frac{1}{\cos^2x}$, получаем:

$\sec^2(2\alpha) - \tan^2(2\alpha) = 1$

$1=1$. Что и требовалось доказать для исправленного тождества.

Ответ: С учётом исправления $\tan^2\alpha$ на $\tan^2(2\alpha)$, тождество $\frac{\sin3\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos3\alpha}{0,5\cos2\alpha\sin4\alpha} - \tan^2(2\alpha) = 1$ верно.

г) В данном тождестве $\frac{\sin3\beta\sin6\beta}{\cos4\beta\cos\beta - \sin4\beta\sin\beta} + 2\cos^23\beta = 1$, по всей видимости, допущены опечатки. Верным является следующее тождество:

$\frac{\sin3\beta\sin6\beta}{\cos4\beta\cos\beta + \sin4\beta\sin\beta} + \cos6\beta = 1$

Докажем это исправленное тождество. Преобразуем знаменатель дроби, используя формулу косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$\cos4\beta\cos\beta + \sin4\beta\sin\beta = \cos(4\beta-\beta) = \cos3\beta$

Подставим в левую часть исправленного тождества:

$\frac{\sin3\beta\sin6\beta}{\cos3\beta} + \cos6\beta$

Преобразуем первое слагаемое, используя $\frac{\sin3\beta}{\cos3\beta}=\tan3\beta$ и формулу синуса двойного угла $\sin6\beta = 2\sin3\beta\cos3\beta$:

$\tan3\beta \cdot \sin6\beta = \tan3\beta \cdot (2\sin3\beta\cos3\beta) = \frac{\sin3\beta}{\cos3\beta} \cdot 2\sin3\beta\cos3\beta = 2\sin^23\beta$

Теперь выражение принимает вид:

$2\sin^23\beta + \cos6\beta$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1-2\sin^2x$ для $\cos6\beta$:

$\cos6\beta = \cos(2 \cdot 3\beta) = 1 - 2\sin^23\beta$

Подставим это в выражение:

$2\sin^23\beta + (1 - 2\sin^23\beta) = 1$

$1=1$. Что и требовалось доказать для исправленного тождества.

Ответ: С учётом исправлений (знак в знаменателе и второе слагаемое), тождество $\frac{\sin3\beta\sin6\beta}{\cos4\beta\cos\beta + \sin4\beta\sin\beta} + \cos6\beta = 1$ верно.

20. Вставьте вместо звездочек арифметические действия так, чтобы равенство $(8*5) * (660*11) = 100$ было верным:

A) $(\cdot), (+), (:)$

B) $(+), (\cdot), (-)$

C) $(\cdot), (+), (\cdot)$

D) $(\cdot), (-), (:)$

E) $(\cdot), (+), (:)$

Для решения данной задачи необходимо последовательно проверить каждый из предложенных вариантов ответа, подставляя указанные арифметические действия вместо символов звездочки в равенство $(8*5) * (660*11) = 100$.

A) (•), (+), (:)

Подставим знаки умножения (•), сложения (+) и деления (:) в выражение. Первый знак (•) ставится в первые скобки, второй знак (+) — между скобками, третий знак (:) — во вторые скобки. Получим равенство:

$(8 \cdot 5) + (660 : 11) = 100$

Выполним действия в скобках:

$8 \cdot 5 = 40$

$660 : 11 = 60$

Теперь подставим результаты обратно в равенство:

$40 + 60 = 100$

$100 = 100$

Данное равенство является верным. Ответ: Верно.

B) (+), (•), (-)

Подставим знаки сложения (+), умножения (•) и вычитания (-). Получим:

$(8 + 5) \cdot (660 - 11) = 100$

Выполним действия в скобках:

$8 + 5 = 13$

$660 - 11 = 649$

Подставим результаты в равенство:

$13 \cdot 649 = 8437$

Получаем $8437 = 100$, что является неверным равенством. Ответ: Неверно.

C) (•), (+), (•)

Подставим знаки умножения (•), сложения (+) и умножения (•). Получим:

$(8 \cdot 5) + (660 \cdot 11) = 100$

Выполним действия в скобках:

$8 \cdot 5 = 40$

$660 \cdot 11 = 7260$

Подставим результаты в равенство:

$40 + 7260 = 7300$

Получаем $7300 = 100$, что является неверным равенством. Ответ: Неверно.

D) (•), (-), (:)

Подставим знаки умножения (•), вычитания (-) и деления (:). Получим:

$(8 \cdot 5) - (660 : 11) = 100$

Выполним действия в скобках:

$8 \cdot 5 = 40$

$660 : 11 = 60$

Подставим результаты в равенство:

$40 - 60 = -20$

Получаем $-20 = 100$, что является неверным равенством. Ответ: Неверно.

E) (•), (+), (:)

Данный вариант полностью идентичен варианту A. Подставим знаки умножения (•), сложения (+) и деления (:). Получим:

$(8 \cdot 5) + (660 : 11) = 100$

Вычисления аналогичны варианту A:

$8 \cdot 5 = 40$

$660 : 11 = 60$

$40 + 60 = 100$

$100 = 100$

Данное равенство является верным. Ответ: Верно.

В результате проверки было установлено, что правильные наборы арифметических действий, которые приводят к верному равенству, предложены в вариантах A и E.

21. Если $6a = 25$ и $3b = 5$, то найдите отношение $\frac{a}{b}$:

A) 0,4; B) $\frac{5}{6}$; C) 2,5; D) 1,2; E) 6.

Для того чтобы найти отношение $\frac{a}{b}$, необходимо использовать данные из условия: $6a = 25$ и $3b = 5$. Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Найти значения a и b по отдельности.

Сначала выразим переменную a из первого уравнения $6a = 25$. Для этого разделим обе части уравнения на 6:

$a = \frac{25}{6}$

Затем выразим переменную b из второго уравнения $3b = 5$. Для этого разделим обе части уравнения на 3:

$b = \frac{5}{3}$

Теперь, когда у нас есть выражения для a и b, мы можем найти их отношение $\frac{a}{b}$. Для этого подставим полученные значения:

$\frac{a}{b} = \frac{\frac{25}{6}}{\frac{5}{3}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую (обратную) вторую дробь:

$\frac{a}{b} = \frac{25}{6} \cdot \frac{3}{5}$

Сократим дроби перед умножением для упрощения вычислений. Числитель 25 и знаменатель 5 сокращаем на 5. Знаменатель 6 и числитель 3 сокращаем на 3:

$\frac{a}{b} = \frac{\cancel{25}^5}{\cancel{6}_2} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{5}_1} = \frac{5}{2}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{5}{2} = 2,5$

Способ 2: Разделить одно уравнение на другое.

Этот способ часто бывает быстрее. Мы можем разделить левую часть первого уравнения ($6a$) на левую часть второго ($3b$) и, соответственно, правую часть первого ($25$) на правую часть второго ($5$):

$\frac{6a}{3b} = \frac{25}{5}$

Упростим обе части полученного выражения:

В левой части $\frac{6}{3} = 2$.

В правой части $\frac{25}{5} = 5$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2 \cdot \frac{a}{b} = 5$

Теперь, чтобы найти отношение $\frac{a}{b}$, разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{a}{b} = \frac{5}{2} = 2,5$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнив полученное значение 2,5 с предложенными вариантами ответов, мы видим, что оно соответствует варианту C).

Ответ: 2,5.

22. Припишите к числу 61 слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число было кратным числу 49:

A) 6615;

B) 7625;

C) 8615;

D) 7614;

E) 8616.

Пусть искомое четырехзначное число имеет вид $\overline{a61b}$, где $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ — цифра от 0 до 9. Это число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: $N = 1000a + 610 + b$.

По условию задачи, число $N$ должно быть кратно 49. Это можно записать как сравнение по модулю 49: $1000a + 610 + b \equiv 0 \pmod{49}$.

Для упрощения этого выражения, найдем остатки от деления чисел 1000 и 610 на 49.Деление $1000$ на $49$ дает $1000 = 20 \cdot 49 + 20$, следовательно, $1000 \equiv 20 \pmod{49}$.Деление $610$ на $49$ дает $610 = 12 \cdot 49 + 22$, следовательно, $610 \equiv 22 \pmod{49}$.

Подставим эти значения в наше сравнение:$20a + 22 + b \equiv 0 \pmod{49}$.Перенесем 22 в правую часть сравнения:$20a + b \equiv -22 \pmod{49}$.Поскольку $-22 \equiv -22 + 49 \pmod{49}$, то $-22 \equiv 27 \pmod{49}$.Таким образом, получаем окончательное сравнение:$20a + b \equiv 27 \pmod{49}$.

Это означает, что выражение $20a + b$ должно быть числом, которое при делении на 49 дает в остатке 27. То есть, $20a + b = 49k + 27$ для некоторого целого неотрицательного числа $k$.

Определим возможный диапазон значений для выражения $20a + b$, учитывая, что $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9.Минимальное значение: $a=1, b=0 \implies 20 \cdot 1 + 0 = 20$.Максимальное значение: $a=9, b=9 \implies 20 \cdot 9 + 9 = 189$.Следовательно, $20 \le 20a + b \le 189$.

Теперь найдем все значения вида $49k + 27$, которые попадают в этот диапазон.При $k=0$: $49 \cdot 0 + 27 = 27$.При $k=1$: $49 \cdot 1 + 27 = 76$.При $k=2$: $49 \cdot 2 + 27 = 98 + 27 = 125$.При $k=3$: $49 \cdot 3 + 27 = 147 + 27 = 174$.При $k=4$: $49 \cdot 4 + 27 = 196 + 27 = 223$, что уже больше 189.

Рассмотрим каждый из четырех полученных случаев:1. $20a + b = 27$. Если $a=1$, то $20 + b = 27$, откуда $b=7$. Это допустимые значения для цифр. Получаем число 1617.2. $20a + b = 76$. Если $a=1, 2, 3$, то $b$ равно 56, 36, 16 соответственно, что не является цифрой. При $a \ge 4$ выражение $20a$ становится больше 76. Решений нет.3. $20a + b = 125$. Подбирая $a$, находим, что при $a=6$ получаем $120 + b = 125$, откуда $b=5$. Это допустимые значения. Получаем число 6615.4. $20a + b = 174$. При $a=8$ получаем $160+b=174$, откуда $b=14$, что не является цифрой. При $a \le 7$ или $a=9$ решения для $b$ не являются цифрой. Решений нет.

Таким образом, мы нашли два числа, удовлетворяющие условию: 1617 и 6615. Из предложенных вариантов ответа в задаче присутствует только 6615, что соответствует варианту A.Проверим деление: $6615 \div 49 = 135$.

Ответ: 6615.