Номер 22, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22. Припишите к числу 61 слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число было кратным числу 49:

A) 6615;

B) 7625;

C) 8615;

D) 7614;

E) 8616.

Пусть искомое четырехзначное число имеет вид $\overline{a61b}$, где $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ — цифра от 0 до 9. Это число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: $N = 1000a + 610 + b$.

По условию задачи, число $N$ должно быть кратно 49. Это можно записать как сравнение по модулю 49: $1000a + 610 + b \equiv 0 \pmod{49}$.

Для упрощения этого выражения, найдем остатки от деления чисел 1000 и 610 на 49.Деление $1000$ на $49$ дает $1000 = 20 \cdot 49 + 20$, следовательно, $1000 \equiv 20 \pmod{49}$.Деление $610$ на $49$ дает $610 = 12 \cdot 49 + 22$, следовательно, $610 \equiv 22 \pmod{49}$.

Подставим эти значения в наше сравнение:$20a + 22 + b \equiv 0 \pmod{49}$.Перенесем 22 в правую часть сравнения:$20a + b \equiv -22 \pmod{49}$.Поскольку $-22 \equiv -22 + 49 \pmod{49}$, то $-22 \equiv 27 \pmod{49}$.Таким образом, получаем окончательное сравнение:$20a + b \equiv 27 \pmod{49}$.

Это означает, что выражение $20a + b$ должно быть числом, которое при делении на 49 дает в остатке 27. То есть, $20a + b = 49k + 27$ для некоторого целого неотрицательного числа $k$.

Определим возможный диапазон значений для выражения $20a + b$, учитывая, что $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9.Минимальное значение: $a=1, b=0 \implies 20 \cdot 1 + 0 = 20$.Максимальное значение: $a=9, b=9 \implies 20 \cdot 9 + 9 = 189$.Следовательно, $20 \le 20a + b \le 189$.

Теперь найдем все значения вида $49k + 27$, которые попадают в этот диапазон.При $k=0$: $49 \cdot 0 + 27 = 27$.При $k=1$: $49 \cdot 1 + 27 = 76$.При $k=2$: $49 \cdot 2 + 27 = 98 + 27 = 125$.При $k=3$: $49 \cdot 3 + 27 = 147 + 27 = 174$.При $k=4$: $49 \cdot 4 + 27 = 196 + 27 = 223$, что уже больше 189.

Рассмотрим каждый из четырех полученных случаев:1. $20a + b = 27$. Если $a=1$, то $20 + b = 27$, откуда $b=7$. Это допустимые значения для цифр. Получаем число 1617.2. $20a + b = 76$. Если $a=1, 2, 3$, то $b$ равно 56, 36, 16 соответственно, что не является цифрой. При $a \ge 4$ выражение $20a$ становится больше 76. Решений нет.3. $20a + b = 125$. Подбирая $a$, находим, что при $a=6$ получаем $120 + b = 125$, откуда $b=5$. Это допустимые значения. Получаем число 6615.4. $20a + b = 174$. При $a=8$ получаем $160+b=174$, откуда $b=14$, что не является цифрой. При $a \le 7$ или $a=9$ решения для $b$ не являются цифрой. Решений нет.

Таким образом, мы нашли два числа, удовлетворяющие условию: 1617 и 6615. Из предложенных вариантов ответа в задаче присутствует только 6615, что соответствует варианту A.Проверим деление: $6615 \div 49 = 135$.

Ответ: 6615.