Вопросы, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Заполните таблицу 2.

Таблица 2

Функция

Область определения

Множество значений

График

$y = ax + b$

$y = ax^2 + bx + c, a \ne 0$

$y = ax^3$

$y = \frac{k}{x}, k \ne 0$

$y = \sqrt{x}, x \ge 0$

1. Какое множество соответствует области определения функции?

2. Какие условия рассматриваются для нахождения области определения функции? Приведите примеры.

3. Может ли прямая: а) $x = a$; б) $y = b$ пересекать график функции $y = f(x)$ в нескольких точках? Ответ обоснуйте.

1. Какое множество соответствует области определения функции?

Область определения функции $y = f(x)$ – это множество всех допустимых значений аргумента $x$ (независимой переменной), для которых выражение $f(x)$ имеет смысл, то есть может быть вычислено. Для каждого значения $x$ из этого множества можно найти соответствующее значение $y$.

Ответ: Области определения функции соответствует множество всех допустимых значений ее аргумента.

2. Какие условия рассматриваются для нахождения области определения функции? Приведите примеры.

При нахождении области определения функции необходимо учитывать ограничения, связанные с выполнимостью математических операций. Основные условия:

1. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Пример: для функции $y = \frac{5}{x-3}$ необходимо, чтобы знаменатель $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. Область определения: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Подкоренное выражение для корня четной степени (квадратного, четвертой степени и т.д.) должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Пример: для функции $y = \sqrt{x+4}$ необходимо, чтобы $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Область определения: $[-4; +\infty)$.

3. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

Пример: для функции $y = \lg(x-1)$ необходимо, чтобы $x-1 > 0$, то есть $x > 1$. Область определения: $(1; +\infty)$.

Ответ: Рассматриваются условия, при которых все математические операции в выражении функции являются выполнимыми: знаменатель дроби не равен нулю, подкоренное выражение корня четной степени неотрицательно, выражение под знаком логарифма положительно и др.

3. Может ли прямая: а) x = a; б) y = b пересекать график функции y = f(x) в нескольких точках? Ответ обоснуйте.

а) x = a

Прямая вида $x = a$ является вертикальной прямой. По определению, функция $y = f(x)$ каждому значению аргумента $x$ из области определения ставит в соответствие единственное значение $y$. Если бы прямая $x = a$ пересекала график функции в нескольких точках, это означало бы, что одному значению $x$ соответствует несколько значений $y$, что противоречит самому определению функции. Таким образом, любая вертикальная прямая может пересекать график функции не более чем в одной точке.

б) y = b

Прямая вида $y = b$ является горизонтальной прямой. Функция может принимать одно и то же значение для разных значений аргумента. Это не противоречит определению функции. Например, график квадратичной функции $y=x^2$ (парабола) пересекается горизонтальной прямой $y=4$ в двух точках: $(-2; 4)$ и $(2; 4)$. График тригонометрической функции $y=\cos(x)$ пересекается прямой $y=0$ в бесконечном множестве точек $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: а) нет, не может; б) да, может.