Страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Заполните таблицу 2.

Таблица 2

Функция

Область определения

Множество значений

График

$y = ax + b$

$y = ax^2 + bx + c, a \ne 0$

$y = ax^3$

$y = \frac{k}{x}, k \ne 0$

$y = \sqrt{x}, x \ge 0$

1. Какое множество соответствует области определения функции?

2. Какие условия рассматриваются для нахождения области определения функции? Приведите примеры.

3. Может ли прямая: а) $x = a$; б) $y = b$ пересекать график функции $y = f(x)$ в нескольких точках? Ответ обоснуйте.

1. Какое множество соответствует области определения функции?

Область определения функции $y = f(x)$ – это множество всех допустимых значений аргумента $x$ (независимой переменной), для которых выражение $f(x)$ имеет смысл, то есть может быть вычислено. Для каждого значения $x$ из этого множества можно найти соответствующее значение $y$.

Ответ: Области определения функции соответствует множество всех допустимых значений ее аргумента.

2. Какие условия рассматриваются для нахождения области определения функции? Приведите примеры.

При нахождении области определения функции необходимо учитывать ограничения, связанные с выполнимостью математических операций. Основные условия:

1. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Пример: для функции $y = \frac{5}{x-3}$ необходимо, чтобы знаменатель $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. Область определения: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Подкоренное выражение для корня четной степени (квадратного, четвертой степени и т.д.) должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Пример: для функции $y = \sqrt{x+4}$ необходимо, чтобы $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Область определения: $[-4; +\infty)$.

3. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

Пример: для функции $y = \lg(x-1)$ необходимо, чтобы $x-1 > 0$, то есть $x > 1$. Область определения: $(1; +\infty)$.

Ответ: Рассматриваются условия, при которых все математические операции в выражении функции являются выполнимыми: знаменатель дроби не равен нулю, подкоренное выражение корня четной степени неотрицательно, выражение под знаком логарифма положительно и др.

3. Может ли прямая: а) x = a; б) y = b пересекать график функции y = f(x) в нескольких точках? Ответ обоснуйте.

а) x = a

Прямая вида $x = a$ является вертикальной прямой. По определению, функция $y = f(x)$ каждому значению аргумента $x$ из области определения ставит в соответствие единственное значение $y$. Если бы прямая $x = a$ пересекала график функции в нескольких точках, это означало бы, что одному значению $x$ соответствует несколько значений $y$, что противоречит самому определению функции. Таким образом, любая вертикальная прямая может пересекать график функции не более чем в одной точке.

б) y = b

Прямая вида $y = b$ является горизонтальной прямой. Функция может принимать одно и то же значение для разных значений аргумента. Это не противоречит определению функции. Например, график квадратичной функции $y=x^2$ (парабола) пересекается горизонтальной прямой $y=4$ в двух точках: $(-2; 4)$ и $(2; 4)$. График тригонометрической функции $y=\cos(x)$ пересекается прямой $y=0$ в бесконечном множестве точек $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: а) нет, не может; б) да, может.

1.1. Найдите значение функции $y = f(x)$ в заданных точках:

а) $f(x) = 2x^2 + 3, x = -1; 2,5; 3;$

б) $f(x) = \frac{1}{3} - 5x, x = -0,5; \frac{1}{15}; 0;$

в) $f(x) = \frac{5}{x-3} + 2, x = 4; 5; \frac{1}{2};$

г) $f(x) = \frac{2}{2+x}, x = -1; 0; -\frac{1}{5}.$

а) Для функции $f(x) = 2x^2 + 3$ найдем значения в заданных точках $x = -1; 2.5; 3$.

1. Подставляем $x = -1$:

$f(-1) = 2(-1)^2 + 3 = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$.

2. Подставляем $x = 2.5$:

$f(2.5) = 2(2.5)^2 + 3 = 2 \cdot 6.25 + 3 = 12.5 + 3 = 15.5$.

3. Подставляем $x = 3$:

$f(3) = 2(3)^2 + 3 = 2 \cdot 9 + 3 = 18 + 3 = 21$.

Ответ: $f(-1) = 5$; $f(2.5) = 15.5$; $f(3) = 21$.

б) Для функции $f(x) = \frac{1}{3} - 5x$ найдем значения в заданных точках $x = -0.5; \frac{1}{15}; 0$.

1. Подставляем $x = -0.5$:

$f(-0.5) = \frac{1}{3} - 5(-0.5) = \frac{1}{3} + 2.5 = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} = \frac{2}{6} + \frac{15}{6} = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}$.

2. Подставляем $x = \frac{1}{15}$:

$f(\frac{1}{15}) = \frac{1}{3} - 5 \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{3} - \frac{5}{15} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$.

3. Подставляем $x = 0$:

$f(0) = \frac{1}{3} - 5 \cdot 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $f(-0.5) = 2\frac{5}{6}$; $f(\frac{1}{15}) = 0$; $f(0) = \frac{1}{3}$.

в) Для функции $f(x) = \frac{5}{x-3} + 2$ найдем значения в заданных точках $x = 4; 5; \frac{1}{2}$.

1. Подставляем $x = 4$:

$f(4) = \frac{5}{4-3} + 2 = \frac{5}{1} + 2 = 5 + 2 = 7$.

2. Подставляем $x = 5$:

$f(5) = \frac{5}{5-3} + 2 = \frac{5}{2} + 2 = 2.5 + 2 = 4.5$.

3. Подставляем $x = \frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = \frac{5}{\frac{1}{2}-3} + 2 = \frac{5}{\frac{1}{2}-\frac{6}{2}} + 2 = \frac{5}{-\frac{5}{2}} + 2 = 5 \cdot (-\frac{2}{5}) + 2 = -2 + 2 = 0$.

Ответ: $f(4) = 7$; $f(5) = 4.5$; $f(\frac{1}{2}) = 0$.

г) Для функции $f(x) = \frac{2}{2+x}$ найдем значения в заданных точках $x = -1; 0; -\frac{1}{5}$.

1. Подставляем $x = -1$:

$f(-1) = \frac{2}{2+(-1)} = \frac{2}{1} = 2$.

2. Подставляем $x = 0$:

$f(0) = \frac{2}{2+0} = \frac{2}{2} = 1$.

3. Подставляем $x = -\frac{1}{5}$:

$f(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{2+(-\frac{1}{5})} = \frac{2}{2-\frac{1}{5}} = \frac{2}{\frac{10}{5}-\frac{1}{5}} = \frac{2}{\frac{9}{5}} = 2 \cdot \frac{5}{9} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$.

Ответ: $f(-1) = 2$; $f(0) = 1$; $f(-\frac{1}{5}) = 1\frac{1}{9}$.

1.2. Найдите значения $f(-2)$, $f(0,5)$, $f(1)$ для функции:

a) $f(x) = x^2 + 2$;

б) $f(x) = 2x^2 + 3x - 4$;

в) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 4}$;

г) $f(x) = \frac{1}{x^2}$.

а) Для функции $f(x) = x^2 + 2$ найдем значения в заданных точках.

1. Чтобы найти $f(-2)$, подставим $x = -2$ в выражение для функции:

$f(-2) = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

2. Чтобы найти $f(0,5)$, подставим $x = 0,5$:

$f(0,5) = (0,5)^2 + 2 = 0,25 + 2 = 2,25$

3. Чтобы найти $f(1)$, подставим $x = 1$:

$f(1) = 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

Ответ: $f(-2) = 6$; $f(0,5) = 2,25$; $f(1) = 3$.

б) Для функции $f(x) = 2x^2 + 3x - 4$ найдем значения в заданных точках.

1. Подставим $x = -2$:

$f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 4 = 2 \cdot 4 - 6 - 4 = 8 - 6 - 4 = -2$

2. Подставим $x = 0,5$:

$f(0,5) = 2 \cdot (0,5)^2 + 3 \cdot 0,5 - 4 = 2 \cdot 0,25 + 1,5 - 4 = 0,5 + 1,5 - 4 = 2 - 4 = -2$

3. Подставим $x = 1$:

$f(1) = 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = 2 + 3 - 4 = 1$

Ответ: $f(-2) = -2$; $f(0,5) = -2$; $f(1) = 1$.

в) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 4}$ найдем значения в заданных точках.

1. Подставим $x = -2$:

$f(-2) = \frac{(-2)^2 - 9}{-2 + 4} = \frac{4 - 9}{2} = \frac{-5}{2} = -2,5$

2. Подставим $x = 0,5$:

$f(0,5) = \frac{(0,5)^2 - 9}{0,5 + 4} = \frac{0,25 - 9}{4,5} = \frac{-8,75}{4,5} = -\frac{875}{450} = -\frac{175}{90} = -\frac{35}{18}$

3. Подставим $x = 1$:

$f(1) = \frac{1^2 - 9}{1 + 4} = \frac{1 - 9}{5} = \frac{-8}{5} = -1,6$

Ответ: $f(-2) = -2,5$; $f(0,5) = -\frac{35}{18}$; $f(1) = -1,6$.

г) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2}$ найдем значения в заданных точках.

1. Подставим $x = -2$:

$f(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} = 0,25$

2. Подставим $x = 0,5$:

$f(0,5) = \frac{1}{(0,5)^2} = \frac{1}{0,25} = 4$

3. Подставим $x = 1$:

$f(1) = \frac{1}{1^2} = \frac{1}{1} = 1$

Ответ: $f(-2) = 0,25$; $f(0,5) = 4$; $f(1) = 1$.

1.3. Найдите область определения функции:

а) $g(x) = 2,5x - 4,2;$

б) $g(x) = 3x^2 - 7x + 4;$

в) $g(x) = \frac{2}{2x + 1};$

г) $g(x) = \frac{2}{3x} + 3.$

а) Функция $g(x) = 2,5x - 4,2$ является линейной. Выражение $2,5x - 4,2$ определено для любых действительных значений переменной $x$, так как нет операций деления на переменную или извлечения корня. Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $g(x) = 3x^2 - 7x + 4$ является квадратичной (многочленом). Выражение $3x^2 - 7x + 4$ определено для любых действительных значений переменной $x$. Ограничений на область определения нет. Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

в) Функция $g(x) = \frac{2}{2x + 1}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции состоит из всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль (так как деление на ноль не определено). Найдем значение $x$, которое необходимо исключить:

$2x + 1 \neq 0$

$2x \neq -1$

$x \neq -0,5$

Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме $-0,5$.

Ответ: $D(g) = (-\infty; -0,5) \cup (-0,5; +\infty)$.

г) Функция $g(x) = \frac{2}{3x} + 3$ содержит дробь, знаменатель которой зависит от переменной $x$. Область определения функции исключает значения $x$, при которых знаменатель дроби равен нулю.

Найдем значение $x$, которое нужно исключить:

$3x \neq 0$

$x \neq 0$

Таким образом, область определения — это все действительные числа, кроме $0$.

Ответ: $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.