Страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Назовите виды преобразований, которые используются для построения графика функции $y = (2x + 1)^2 - 4$.

1. В каких случаях для построения графика функции используются простейшие преобразования?

2. Чем отличается построение графиков функций $y = f(x) + b$, $y = f(x + a)$ в результате преобразований? Приведите пример.

3. В чем сходство преобразований графика функции $y = f(x)$ при построении графиков функций $y = -af(x)$, $y = f(-ax)$?

Для построения графика функции $y = (2x + 1)^2 - 4$ из графика базовой функции $y = x^2$ используются следующие виды преобразований:

Сначала выполняется горизонтальное сжатие графика $y = x^2$ к оси Oy в 2 раза, в результате чего получается график функции $y = (2x)^2$.

Затем выполняется горизонтальный сдвиг (параллельный перенос) графика $y = (2x)^2$ влево на 0.5 единицы (так как $2x+1 = 2(x+0.5)$), что дает график $y = (2(x+0.5))^2 = (2x+1)^2$.

Наконец, выполняется вертикальный сдвиг (параллельный перенос) графика $y = (2x+1)^2$ вниз на 4 единицы, что приводит к итоговому графику $y = (2x+1)^2 - 4$.

Ответ: Горизонтальное сжатие, горизонтальный сдвиг и вертикальный сдвиг.

1. В каких случаях для построения графика функции используются простейшие преобразования?

Простейшие преобразования графиков (параллельный перенос, растяжение/сжатие, отражение) используются в тех случаях, когда график сложной функции можно получить из графика известной базовой (элементарной) функции, такой как $y=x^2$, $y=\sqrt{x}$, $y=\sin x$, $y=a^x$ и др. Это возможно, если формула данной функции может быть выражена через формулу базовой функции $f(x)$ в общем виде $y = k \cdot f(m(x+a)) + b$, где $k, m, a, b$ — константы, отвечающие за конкретные преобразования.

Ответ: Простейшие преобразования используются, когда график искомой функции можно получить из графика какой-либо базовой функции с помощью сдвигов, растяжений, сжатий и отражений.

2. Чем отличается построение графиков функций y = f(x) + b, y = f(x + a) в результате преобразований? Приведите пример.

Построение этих графиков отличается направлением сдвига (параллельного переноса) графика исходной функции $y=f(x)$.

• Преобразование $y = f(x) + b$ — это вертикальный сдвиг вдоль оси ординат (Oy). Если $b>0$, график сдвигается вверх на $b$ единиц; если $b<0$, график сдвигается вниз на $|b|$ единиц.

• Преобразование $y = f(x + a)$ — это горизонтальный сдвиг вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a>0$, график сдвигается влево на $a$ единиц; если $a<0$, график сдвигается вправо на $|a|$ единиц.

Пример: Пусть базовая функция $f(x) = x^3$.

• График функции $y = x^3 + 2$ получается сдвигом графика $y=x^3$ на 2 единицы вверх.

• График функции $y = (x+2)^3$ получается сдвигом графика $y=x^3$ на 2 единицы влево.

Ответ: Преобразование $y=f(x)+b$ является вертикальным сдвигом, а $y=f(x+a)$ — горизонтальным.

3. В чем сходство преобразований графика функции y = f(x) при построении графиков функций y = -af(x), y = f(-ax)?

Сходство данных преобразований (при $a>0$) заключается в том, что оба они являются комбинацией двух типов элементарных преобразований: масштабирования (растяжения/сжатия) и симметричного отражения.

• Для построения графика $y = -af(x)$ выполняется вертикальное масштабирование (растяжение или сжатие вдоль оси Oy) с коэффициентом $a$ и отражение относительно оси абсцисс (Ox).

• Для построения графика $y = f(-ax)$ выполняется горизонтальное масштабирование (сжатие или растяжение вдоль оси Ox) с коэффициентом $a$ и отражение относительно оси ординат (Oy).

В обоих случаях коэффициент $a$ отвечает за изменение формы и размеров графика (масштабирование), а знак «минус» — за его зеркальное отражение (изменение ориентации).

Ответ: Сходство заключается в том, что оба преобразования включают в себя масштабирование (за которое отвечает коэффициент $a$) и симметричное отражение относительно одной из координатных осей (за которое отвечает знак «минус»).