Страница 25 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.4. На рисунке 22, а–в построен график функции $y = f(x)$ для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge 0 (x \le 0)$. Постройте график функции $f(x)$, если известно:

а) $f(x)$ — нечетная функция;

б) $f(x)$ — четная функция;

в) $f(x)$ — ни четная, ни нечетная функция.

Рис. 22

Для решения задачи воспользуемся определениями четной и нечетной функций.

• Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки O(0,0)).

Для графика на рисунке 22, а)

На рисунке задана часть графика для $x \ge 0$.

а) f(x) — нечетная функция;

Чтобы достроить график нечетной функции, необходимо отразить заданную часть графика симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x, y)$ на графике для $x > 0$ перейдет в точку $(-x, -y)$. Поскольку исходная ветвь находится в первой координатной четверти (где $x>0, y>0$), ее отражение будет находиться в третьей координатной четверти (где $x<0, y<0$). Точка $(0,0)$ останется на месте.

Ответ: График для $x < 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x > 0$ относительно начала координат.

б) f(x) — четная функция;

Чтобы достроить график четной функции, необходимо отразить заданную часть графика симметрично относительно оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x, y)$ на графике для $x > 0$ перейдет в точку $(-x, y)$. Поскольку исходная ветвь находится в первой координатной четверти, ее отражение будет находиться во второй координатной четверти (где $x<0, y>0$). В результате получится график, симметричный относительно оси Oy.

Ответ: График для $x < 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x > 0$ относительно оси ординат.

в) f(x) — ни четная, ни нечетная функция.

В этом случае график не обязан обладать какой-либо симметрией. Мы можем достроить его для $x < 0$ произвольно, при условии, что для каждого значения $x$ будет существовать только одно значение $y$. Существует бесконечное множество способов. Например, можно для $x < 0$ начертить луч, выходящий из начала координат в третью четверть, но не являющийся симметричным отражением правой части.

Ответ: График для $x < 0$ можно достроить любым способом, который не создает симметрии относительно оси Oy или начала координат.

Для графика на рисунке 22, б)

На рисунке задана часть графика для $x \le 0$.

а) f(x) — нечетная функция;

Для построения графика нечетной функции отражаем заданную часть ($x \le 0$) симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x, y)$ с $x < 0$ перейдет в точку $(-x, -y)$. Исходная ветвь находится в третьей четверти ($x<0, y<0$). Ее отражение будет находиться в первой четверти, так как $-x > 0$ и $-y > 0$.

Ответ: График для $x > 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x < 0$ относительно начала координат.

б) f(x) — четная функция;

Для построения графика четной функции отражаем заданную часть ($x \le 0$) симметрично относительно оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ с $x < 0$ перейдет в точку $(-x, y)$. Исходная ветвь находится в третьей четверти ($x<0, y<0$). Ее отражение будет находиться в четвертой четверти, так как $-x > 0$, а ордината $y$ останется отрицательной.

Ответ: График для $x > 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x < 0$ относительно оси ординат.

в) f(x) — ни четная, ни нечетная функция.

Достраиваем график для $x > 0$ произвольно, без соблюдения симметрии. Например, можно провести из начала координат луч $y=x$ для $x > 0$. Полученный график не будет симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

Ответ: График для $x > 0$ можно достроить любым способом, который не создает симметрии относительно оси Oy или начала координат.

Для графика на рисунке 22, в)

На рисунке задана часть графика для $x \le 0$.

а) f(x) — нечетная функция;

Отражаем заданную ломаную линию симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x, y)$ с $x < 0$ перейдет в точку $(-x, -y)$. Исходная часть графика расположена во второй четверти ($x<0, y>0$). Симметричное ей отражение будет расположено в четвертой четверти ($x>0, y<0$).

Ответ: График для $x > 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x < 0$ относительно начала координат.

б) f(x) — четная функция;

Отражаем заданную ломаную линию симметрично относительно оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ с $x < 0$ перейдет в точку $(-x, y)$. Исходная часть графика расположена во второй четверти ($x<0, y>0$). Симметричное ей отражение будет расположено в первой четверти ($x>0, y>0$). Получившийся график будет напоминать по форме букву "М".

Ответ: График для $x > 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x < 0$ относительно оси ординат.

в) f(x) — ни четная, ни нечетная функция.

Достраиваем график для $x > 0$ произвольным образом, выходя из точки $(0,0)$ и не создавая симметрии. Например, можно провести в первой четверти кривую, не являющуюся зеркальным отражением левой части.

Ответ: График для $x > 0$ можно достроить любым способом, который не создает симметрии относительно оси Oy или начала координат.

3.5. На рисунках 23–24 изображена часть графика функции. По графику найдите:

1) координаты точек пересечений графика функции с осями координат;

2) промежутки возрастания и убывания;

3) промежутки знакопостоянства функции.

Для графика на Рис. 23:

1) координаты точек пересечений графика функции с осями координат

Чтобы найти точку пересечения с осью ординат (ось $y$), нужно найти значение функции при $x=0$. По графику $y(0)=2$. Следовательно, точка пересечения с осью $y$: $(0, 2)$.

Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс (ось $x$), нужно найти значения $x$, при которых $y=0$. По графику это происходит в точках $x=-4$ и $x=4$. Следовательно, точки пересечения с осью $x$: $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(0, 2)$, $(-4, 0)$, $(4, 0)$.

2) промежутки возрастания и убывания

Функция возрастает на тех промежутках, где ее график направлен вверх при движении слева направо. Для данного графика это промежуток от локального минимума в точке $x=-2$ до локального максимума в точке $x=2$.

Функция убывает на тех промежутках, где ее график направлен вниз. Это происходит от начала области определения ($x=-5$) до локального минимума ($x=-2$) и от локального максимума ($x=2$) до конца области определения ($x=5$).

Ответ: возрастание на $[-2, 2]$; убывание на $[-5, -2]$ и $[2, 5]$.

3) промежутки знакопостоянства функции

Функция положительна ($y>0$), когда ее график находится выше оси $x$. Это соответствует интервалу между корнями функции, то есть от $x=-4$ до $x=4$.

Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график находится ниже оси $x$. Это соответствует промежуткам от $x=-5$ до $x=-4$ и от $x=4$ до $x=5$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-4, 4)$; $y<0$ при $x \in [-5, -4) \cup (4, 5]$.

Для графика на Рис. 24:

1) координаты точек пересечений графика функции с осями координат

Пересечение с осью ординат (ось $y$): при $x=0$ значение $y=4$. Точка $(0, 4)$.

Пересечения с осью абсцисс (ось $x$): при $y=0$ значения $x=-2$ и $x=4$. Точки $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(0, 4)$, $(-2, 0)$, $(4, 0)$.

2) промежутки возрастания и убывания

Функция возрастает от начала области определения ($x=-3$) до точки локального максимума ($x=2$).

Функция убывает от точки локального максимума ($x=2$) до конца области определения ($x=6$).

Ответ: возрастание на $[-3, 2]$; убывание на $[2, 6]$.

3) промежутки знакопостоянства функции

Функция положительна ($y>0$) на интервале, где график выше оси $x$, то есть между корнями $x=-2$ и $x=4$.

Функция отрицательна ($y<0$) на интервалах, где график ниже оси $x$, то есть от $x=-3$ до $x=-2$ и от $x=4$ до $x=6$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-2, 4)$; $y<0$ при $x \in [-3, -2) \cup (4, 6]$.

3.6. Докажите четность или нечетность функции:

а) $y=\frac{2}{3}x^4 + 4|x|$;

б) $f(x)=|x| - 2x^2$;

в) $f(x)=\frac{x^2 - 16}{0,5\sin 2x}$;

г) $f(x)=\frac{x(x - 3)}{\cos3x}$.

а) $y = \frac{2}{3}x^4 + 4|x|$

Чтобы определить четность или нечетность функции, нужно проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.

2. Должно выполняться одно из равенств: $y(-x) = y(x)$ (четная функция) или $y(-x) = -y(x)$ (нечетная функция).

Для функции $y(x) = \frac{2}{3}x^4 + 4|x|$:

1. Область определения $D(y)$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Этот интервал симметричен относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \frac{2}{3}(-x)^4 + 4|-x|$.

Поскольку четная степень отрицательного числа равна положительному числу ($(-x)^4 = x^4$) и модуль отрицательного числа равен модулю положительного числа ($|-x| = |x|$), получаем:

$y(-x) = \frac{2}{3}x^4 + 4|x|$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) $f(x) = |x| - 2x^2$

1. Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = |-x| - 2(-x)^2$.

Так как $|-x| = |x|$ и $(-x)^2 = x^2$, то:

$f(-x) = |x| - 2x^2$.

Сравнивая результат с исходной функцией, получаем $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

в) $f(x) = \frac{x^2 - 16}{0,5\sin(2x)}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю:

$0,5\sin(2x) \neq 0 \implies \sin(2x) \neq 0 \implies 2x \neq k\pi \implies x \neq \frac{k\pi}{2}$, где $k$ — любое целое число.

Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{k\pi}{2} | k \in \mathbb{Z} \}$ симметрична относительно нуля, так как если $x_0$ не принадлежит области определения, то и $-x_0$ также не принадлежит ей.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 16}{0,5\sin(2(-x))}$.

Учитывая свойства степеней и тригонометрических функций: $(-x)^2 = x^2$ и $\sin(-2x) = -\sin(2x)$ (синус — нечетная функция).

$f(-x) = \frac{x^2 - 16}{0,5(-\sin(2x))} = -\frac{x^2 - 16}{0,5\sin(2x)}$.

Сравнивая результат с исходной функцией, получаем $f(-x) = -f(x)$.

Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

г) $f(x) = \frac{x(x - 3)}{\cos(3x)}$

1. Найдем область определения. Знаменатель не должен равняться нулю:

$\cos(3x) \neq 0 \implies 3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$, где $k$ — любое целое число.

Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} | k \in \mathbb{Z} \}$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)((-x) - 3)}{\cos(3(-x))}$.

Раскроем скобки в числителе и используем свойство четности косинуса $\cos(-3x) = \cos(3x)$:

$f(-x) = \frac{-x(-x - 3)}{\cos(3x)} = \frac{x(x + 3)}{\cos(3x)} = \frac{x^2 + 3x}{\cos(3x)}$.

Сравним полученное выражение с $f(x) = \frac{x(x-3)}{\cos(3x)} = \frac{x^2 - 3x}{\cos(3x)}$.

$f(-x) = \frac{x^2 + 3x}{\cos(3x)} \neq f(x)$.

$f(-x) = \frac{x^2 + 3x}{\cos(3x)} \neq -f(x) = -\frac{x^2 - 3x}{\cos(3x)} = \frac{3x - x^2}{\cos(3x)}$.

Поскольку не выполняется ни условие четности $f(-x) = f(x)$, ни условие нечетности $f(-x) = -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

3.7. Найдите наименьший положительный период функции:

а) $f(x) = \cos\left(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x$;

в) $f(x) = \cot\left(\frac{\pi}{4} + 5x\right)$;

г) $f(x) = 6\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.

а) Для функции $f(x) = \cos(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{3})$ наименьший положительный период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой функции, а $k$ — коэффициент при $x$.

Базовая функция — $y = \cos(x)$, её наименьший положительный период $T_0 = 2\pi$.

В данном случае функция имеет вид $f(x) = \cos(kx+b)$, где $k = \frac{5}{2}$.

Следовательно, наименьший положительный период данной функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|\frac{5}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{5}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{5} = \frac{4\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{4\pi}{5}$.

б) Для функции $f(x) = \cos^2{3x} - \sin^2{3x}$ сначала применим тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

В нашем случае $\alpha = 3x$, поэтому функцию можно упростить:

$f(x) = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$.

Теперь находим период для функции $f(x) = \cos(6x)$.

Базовая функция — $y = \cos(x)$, её наименьший положительный период $T_0 = 2\pi$.

Коэффициент при $x$ равен $k = 6$.

Наименьший положительный период равен:

$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|6|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

в) Для функции $f(x) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4} + 5x)$ наименьший положительный период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

Базовая функция — $y = \text{ctg}(x)$, её наименьший положительный период $T_0 = \pi$.

В данном случае функция имеет вид $f(x) = \text{ctg}(kx+b)$, где $k = 5$.

Следовательно, наименьший положительный период данной функции равен:

$T = \frac{\pi}{|5|} = \frac{\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{\pi}{5}$.

г) Для функции $f(x) = 6\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ сначала применим тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Преобразуем исходную функцию:

$f(x) = 3 \cdot (2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2})$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому функцию можно упростить:

$f(x) = 3\sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 3\sin(x)$.

Теперь находим период для функции $f(x) = 3\sin(x)$.

Базовая функция — $y = \sin(x)$, её наименьший положительный период $T_0 = 2\pi$.

Коэффициент при $x$ равен $k = 1$.

Наименьший положительный период равен:

$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.