Страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.8. Используя данные, постройте эскиз графика функции $f(x)$:

а) функция на промежутке $(-\infty; \frac{1}{2}]$ возрастает, на промежутке $[\frac{1}{2}; +\infty)$ — убывает;

б) функция на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$ возрастает, на промежутке $[1; 3]$ — убывает;

в) функция на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[1; +\infty)$ убывает, на промежутке $[-4; 1]$ — возрастает;

г) $x_{max} = -1$, $x_{min} = 2$, $f(-1) = 2$, $f(2) = -3$;

д) $f(x)$ — четная функция, $x_{max} = 0$, $x_{min} = 1$, $f(0) = 4$, $f(1) = 0$;

е) $f(x)$ — нечетная функция, $x_{min} = 5$, $f(0) = 2$, $f(5) = -3$.

а) функция на промежутке $(-\infty; \frac{1}{2}]$ возрастает, на промежутке $[\frac{1}{2}; +\infty)$ — убывает;

Из условия следует, что производная функции $f'(x) \ge 0$ при $x \le \frac{1}{2}$ и $f'(x) \le 0$ при $x \ge \frac{1}{2}$. Это означает, что в точке $x = \frac{1}{2}$ функция переходит от возрастания к убыванию. Следовательно, в этой точке функция имеет локальный максимум.

Эскиз графика представляет собой кривую, которая поднимается слева направо до точки с абсциссой $x = \frac{1}{2}$, где достигает своего пика (максимума), а затем опускается при дальнейшем увеличении $x$. Конкретное значение максимума $f(\frac{1}{2})$ не задано, поэтому вершина может находиться на любой высоте. Простейшим примером такой функции является парабола $f(x) = -a(x - \frac{1}{2})^2 + c$ с коэффициентом $a > 0$.

Ответ: Эскиз графика — это кривая, возрастающая до $x = \frac{1}{2}$ и убывающая после. Точка $x = \frac{1}{2}$ является точкой максимума.

б) функция на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$ возрастает, на промежутке $[1; 3]$ — убывает;

Анализируя интервалы монотонности, мы видим, что в точке $x = 1$ функция меняет свое поведение с возрастания на убывание, что соответствует точке локального максимума. В точке $x = 3$ функция переходит от убывания к возрастанию, что указывает на наличие точки локального минимума. Для построения эскиза необходимо, чтобы значение в точке максимума было больше значения в точке минимума, то есть $f(1) > f(3)$.

Эскиз графика будет выглядеть следующим образом: кривая возрастает из $-\infty$ до точки локального максимума при $x=1$. Затем кривая убывает до точки локального минимума при $x=3$. После $x=3$ функция снова начинает возрастать. График по форме напоминает кривую, характерную для многочлена третьей степени с положительным старшим коэффициентом.

Ответ: Эскиз графика — кривая, имеющая локальный максимум в точке $x = 1$ и локальный минимум в точке $x = 3$.

в) функция на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[1; +\infty)$ убывает, на промежутке $[-4; 1]$ — возрастает;

Из условия следует, что в точке $x = -4$ функция переходит от убывания к возрастанию, следовательно, это точка локального минимума. В точке $x = 1$ функция переходит от возрастания к убыванию, что соответствует точке локального максимума. Для корректного эскиза значение в точке максимума должно быть больше значения в точке минимума, то есть $f(1) > f(-4)$.

Эскиз графика выглядит так: кривая убывает из $+\infty$ до точки локального минимума при $x=-4$. Затем функция возрастает до точки локального максимума при $x=1$. После $x=1$ функция снова убывает. График имеет "впадину" (минимум) при $x=-4$ и "холм" (максимум) при $x=1$.

Ответ: Эскиз графика — кривая, имеющая локальный минимум в точке $x = -4$ и локальный максимум в точке $x = 1$.

г) $x_{max} = -1$, $x_{min} = 2$, $f(-1) = 2$, $f(2) = -3$;

В этом пункте даны конкретные координаты точек экстремумов. Точка локального максимума находится в $(-1, 2)$, а точка локального минимума — в $(2, -3)$. Наличие максимума в $x=-1$ и минимума в $x=2$ (и предполагая, что других экстремумов нет) определяет интервалы монотонности функции.

Для построения эскиза необходимо отметить на координатной плоскости точки $(-1, 2)$ и $(2, -3)$. График функции возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$, достигая максимума в точке $(-1, 2)$. Затем функция убывает на промежутке $[-1, 2]$, проходя через точку максимума и достигая минимума в точке $(2, -3)$. Наконец, на промежутке $[2, +\infty)$ функция снова возрастает, уходя вверх из точки минимума.

Ответ: Эскиз графика — это кривая, проходящая через точку локального максимума $(-1, 2)$ и точку локального минимума $(2, -3)$, возрастающая на $(-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$ и убывающая на $[-1, 2]$.

д) $f(x)$ — четная функция, $x_{max} = 0$, $x_{min} = 1$, $f(0) = 4$, $f(1) = 0$;

Четная функция симметрична относительно оси ординат (оси $y$), то есть $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Нам даны точки: максимум в $(0, 4)$ и минимум в $(1, 0)$.

Так как функция четная, то наличие минимума в точке $x = 1$ означает наличие такого же минимума в симметричной точке $x = -1$. Значение функции в этой точке будет таким же: $f(-1) = f(1) = 0$. Таким образом, у нас есть еще одна точка минимума: $(-1, 0)$. Точка максимума $(0, 4)$ лежит на оси симметрии.

Эскиз графика можно построить следующим образом:

1. Отмечаем точки: локальный максимум $(0, 4)$, локальные минимумы $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

2. Функция убывает на интервале $(-\infty, -1]$ до точки минимума $(-1, 0)$.

3. Затем возрастает на интервале $[-1, 0]$ до точки максимума $(0, 4)$.

4. После максимума функция убывает на интервале $[0, 1]$ до точки минимума $(1, 0)$.

5. Наконец, функция возрастает на интервале $[1, +\infty)$.

График имеет W-образную форму.

Ответ: Эскиз графика — это симметричная относительно оси $y$ кривая, имеющая максимум в точке $(0, 4)$ и два минимума в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

е) $f(x)$ — нечетная функция, $x_{min} = 5$, $f(0) = 2$, $f(5) = -3$.

По определению, функция $f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения должна быть симметрична относительно нуля. Если $x=0$ входит в область определения нечетной функции, то должно выполняться условие $f(-0) = -f(0)$, что равносильно $f(0) = -f(0)$, откуда следует, что $2f(0) = 0$ и $f(0) = 0$.

В условии задачи дано, что функция нечетная и одновременно $f(0) = 2$. Эти два условия противоречат друг другу. Следовательно, не существует функции, удовлетворяющей всем перечисленным требованиям одновременно. Построить эскиз такого графика невозможно.

Можно предположить, что в условии допущена опечатка. Если предположить, что $f(0) = 0$ (как и должно быть у нечетной функции, определенной в нуле), то задачу можно решить.

1. Функция нечетная, значит ее график симметричен относительно начала координат.

2. Дана точка минимума при $x=5$ со значением $f(5)=-3$. Точка на графике — $(5, -3)$.

3. В силу симметрии относительно начала координат, должна существовать симметричная точка $(-5, -f(5)) = (-5, -(-3)) = (-5, 3)$.

4. Если в точке $x=5$ находится минимум, то в симметричной точке $x=-5$ будет максимум. Таким образом, в точке $(-5, 3)$ находится локальный максимум.

5. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

Эскиз (при условии $f(0)=0$): кривая возрастает до максимума в точке $(-5, 3)$, затем убывает, проходя через начало координат $(0, 0)$, до минимума в точке $(5, -3)$, и затем снова возрастает.

Ответ: Условия задачи противоречивы, так как для нечетной функции, определенной в точке $x=0$, должно выполняться $f(0)=0$, а в условии дано $f(0)=2$. Построить график на основе исходных данных невозможно.

3.9. Используя простейшие преобразования, постройте график функции:

а) $y = 2x - x^2$;

б) $y = \frac{1}{x + 2} - 3$.

По графику определите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки знакопостоянства.

а) y = 2x - x²;

Данная функция является квадратичной. Для построения графика преобразуем её, выделив полный квадрат. Это позволит нам увидеть, какие преобразования нужно применить к базовой функции $y = x^2$.

$y = 2x - x^2 = -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x)$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата, прибавив и вычтя 1:

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -((x-1)^2 - 1) = -(x-1)^2 + 1$.

График этой функции — парабола, которую можно получить из графика функции $y = x^2$ с помощью следующих простейших преобразований:

1. Отобразить график $y = x^2$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -x^2$. Ветви параболы будут направлены вниз.

2. Сдвинуть полученный график на 1 единицу вправо по оси Ox, чтобы получить график $y = -(x-1)^2$.

3. Сдвинуть полученный график на 1 единицу вверх по оси Oy, чтобы получить итоговый график $y = -(x-1)^2 + 1$.

Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат для более точного построения:

Пересечение с осью Oy (полагаем $x=0$): $y = 2 \cdot 0 - 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox (полагаем $y=0$): $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Теперь проанализируем свойства функции по построенному графику:

Промежутки возрастания и убывания: Так как ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $x=1$, функция возрастает до вершины и убывает после нее.

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.

Функция убывает на промежутке $[1, \infty)$.

Точки экстремума: Вершина параболы является точкой максимума.

Точка максимума: $x_{max} = 1$. Максимальное значение функции: $y_{max} = y(1) = 1$.

Промежутки знакопостоянства:

Функция положительна ($y > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.

$y > 0$ при $x \in (0, 2)$.

Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox.

$y < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

Ответ:

График — парабола с вершиной в точке $(1, 1)$ и ветвями, направленными вниз, пересекающая оси в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Промежуток возрастания: $(-\infty, 1]$.

Промежуток убывания: $[1, \infty)$.

Точка экстремума (максимум): $(1, 1)$.

Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0, 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

б) y = 1/(x + 2) - 3.

Данная функция является дробно-линейной. Её график — гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = 1/x$ с помощью следующих преобразований:

1. Сдвинуть график $y = 1/x$ на 2 единицы влево по оси Ox. Получим график функции $y = 1/(x+2)$. Вертикальная асимптота сместится из $x=0$ в $x=-2$.

2. Сдвинуть полученный график на 3 единицы вниз по оси Oy. Получим итоговый график $y = 1/(x+2) - 3$. Горизонтальная асимптота сместится из $y=0$ в $y=-3$.

Таким образом, график функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=-3$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат для более точного построения:

Пересечение с осью Oy (полагаем $x=0$): $y = 1/(0+2) - 3 = 1/2 - 3 = -2.5$. Точка $(0, -2.5)$.

Пересечение с осью Ox (полагаем $y=0$): $1/(x+2) - 3 = 0 \Rightarrow 1/(x+2) = 3 \Rightarrow 1 = 3(x+2) \Rightarrow 1 = 3x + 6 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x = -5/3$. Точка $(-5/3, 0)$.

Теперь проанализируем свойства функции по построенному графику:

Промежутки возрастания и убывания: Так как коэффициент при $x$ в знаменателе положителен (и в числителе тоже), функция является убывающей на всей своей области определения, как и базовая функция $y=1/x$.

Функция убывает на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(-2, \infty)$.

Точки экстремума: Функция является монотонно убывающей на каждом из интервалов своей области определения, поэтому точек максимума или минимума у неё нет.

Промежутки знакопостоянства: Знак функции может меняться в точке пересечения с осью Ox ($x = -5/3$) и в точке разрыва (вертикальная асимптота $x = -2$). Эти точки делят числовую ось на три интервала.

Функция положительна ($y > 0$), когда $1/(x+2) - 3 > 0 \Rightarrow 1/(x+2) > 3$. Это неравенство выполняется, когда $0 < x+2 < 1/3$, что эквивалентно $-2 < x < -5/3$.

$y > 0$ при $x \in (-2, -5/3)$.

Функция отрицательна ($y < 0$) на остальных частях области определения.

$y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-5/3, \infty)$.

Ответ:

График — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=-3$.

Промежутки убывания: $(-\infty, -2)$ и $(-2, \infty)$.

Точек экстремума нет.

Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-2, -5/3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-5/3, \infty)$.

3.10. Известно, что функция $y = f(x)$ — четная. Дополняя формулу функции, каким алгебраическим слагаемым можно получить:

1) четную функцию;

2) функцию общего вида:

а) $f(x) = 2x^2;$ б) $f(x) = x^4 - x^2?$

Для решения этой задачи воспользуемся определениями и свойствами четности функций. Функция $g(x)$ является четной, если $g(-x) = g(x)$, и нечетной, если $g(-x) = -g(x)$. Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида. Сумма двух четных функций является четной функцией. Сумма четной и ненулевой нечетной функции является функцией общего вида. В задаче дана четная функция $y=f(x)$, к которой нужно добавить алгебраическое слагаемое $g(x)$, чтобы получить новую функцию $F(x) = f(x) + g(x)$ с заданными свойствами.

а) Исходная функция $f(x) = 2x^2$ является четной, так как $f(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = f(x)$.

1) Чтобы получить четную функцию, к исходной четной функции $f(x)$ необходимо добавить слагаемое $g(x)$, которое также является четной функцией. Примером такого алгебраического слагаемого является любая константа $c$ (так как $g(x)=c$ - четная функция) или любой одночлен с четной степенью, например, $ax^{2k}$, где $k$ - целое неотрицательное число. Например, добавив $g(x)=5$, получим $F(x)=2x^2+5$, которая является четной.

Ответ: можно добавить любое алгебраическое слагаемое, представляющее собой четную функцию, например, константу $c$ или одночлен вида $ax^{2k}$ ($k$ — целое неотрицательное число).

2) Чтобы получить функцию общего вида, к исходной четной функции $f(x)$ необходимо добавить слагаемое $g(x)$, которое не является четной функцией. Самый простой способ — добавить ненулевую нечетную функцию. Примером такого слагаемого является любой ненулевой одночлен с нечетной степенью, например, $ax^{2k+1}$, где $k$ - целое неотрицательное число и $a \ne 0$. Например, добавив $g(x)=3x$, получим $F(x) = 2x^2 + 3x$. Эта функция является функцией общего вида, поскольку $F(-x) = 2(-x)^2 + 3(-x) = 2x^2 - 3x$, и $F(-x) \ne F(x)$, и $F(-x) \ne -F(x)$ (для $x \ne 0$).

Ответ: можно добавить любое алгебраическое слагаемое, не являющееся четной функцией, например, любой ненулевой одночлен с нечетной степенью вида $ax^{2k+1}$ ($k$ — целое неотрицательное число, $a \ne 0$).

б) Исходная функция $f(x) = x^4 - x^2$ является четной, так как является разностью двух четных функций ($x^4$ и $x^2$). Проверка: $f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2 = f(x)$.

1) Чтобы получить четную функцию, к исходной четной функции $f(x)$ нужно добавить другое слагаемое $g(x)$, являющееся четной функцией. Как и в предыдущем пункте, это может быть константа или одночлен с четной степенью. Например, добавив $g(x)=ax^6$, получим четную функцию $F(x) = x^4 - x^2 + ax^6$.

Ответ: можно добавить любое алгебраическое слагаемое, представляющее собой четную функцию, например, константу $c$ или одночлен вида $ax^{2k}$ ($k$ — целое неотрицательное число).

2) Чтобы получить функцию общего вида, к исходной четной функции $f(x)$ нужно добавить слагаемое $g(x)$, которое не является четной функцией, например, ненулевую нечетную функцию. Это может быть любой ненулевой одночлен с нечетной степенью. Например, добавив $g(x)=x^5$, получим функцию общего вида $F(x) = x^4 - x^2 + x^5$.

Ответ: можно добавить любое алгебраическое слагаемое, не являющееся четной функцией, например, любой ненулевой одночлен с нечетной степенью вида $ax^{2k+1}$ ($k$ — целое неотрицательное число, $a \ne 0$).

3.11. Известно, что функция $y = f(x)$ — нечетная. Дополняя формулу функции, каким алгебраическим слагаемым можно получить:

1) нечетную функцию;

2) функцию общего вида:

а) $f(x) = -3x^3$;

б) $f(x) = x + x^3$?

Для решения этой задачи воспользуемся определениями четных и нечетных функций, а также свойствами их сумм.

Функция $h(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$.

Функция $h(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $h(-x) = h(x)$.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

Ключевые свойства, которые нам понадобятся: сумма двух нечетных функций является нечетной функцией; сумма нечетной функции и ненулевой четной функции является функцией общего вида.

По условию, исходная функция $y = f(x)$ является нечетной. Мы должны добавить к ней алгебраическое слагаемое $g(x)$, чтобы новая функция $H(x) = f(x) + g(x)$ стала либо нечетной, либо функцией общего вида.

а) $f(x) = -3x^3$

Сначала убедимся, что данная функция действительно нечетная: $f(-x) = -3(-x)^3 = -3(-x^3) = 3x^3 = -(-3x^3) = -f(x)$.

1) нечетную функцию

Чтобы итоговая функция $H(x) = f(x) + g(x)$ была нечетной, к исходной нечетной функции $f(x)$ нужно прибавить другое алгебраическое слагаемое $g(x)$, которое также является нечетной функцией. Алгебраическое слагаемое является нечетной функцией, если оно имеет вид $ax^k$, где $k$ — нечетное натуральное число. Например, можно добавить слагаемое $g(x) = 2x$ или $g(x) = -x^5$. Новая функция, например $H(x) = -3x^3 + 2x$, также будет нечетной.

Ответ: чтобы получить нечетную функцию, нужно добавить любое алгебраическое слагаемое, которое само является нечетной функцией, например, вида $ax^k$, где $a \neq 0$ и $k$ — нечетное натуральное число.

2) функцию общего вида

Чтобы итоговая функция $H(x) = f(x) + g(x)$ была функцией общего вида, к исходной нечетной функции $f(x)$ нужно прибавить слагаемое $g(x)$, которое не является нечетной функцией. Самый простой способ — добавить ненулевую четную функцию. Алгебраическое слагаемое является четной функцией, если оно имеет вид $ax^k$, где $k$ — четное натуральное число, или является ненулевой константой $c$ (так как $c = cx^0$). Например, добавим $g(x) = 5x^2$ или $g(x) = -4$. Новая функция, например, $H(x) = -3x^3 + 5x^2$, будет функцией общего вида. Проверим: $H(-x) = -3(-x)^3 + 5(-x)^2 = 3x^3 + 5x^2$. Это выражение не равно ни $H(x) = -3x^3 + 5x^2$, ни $-H(x) = 3x^3 - 5x^2$.

Ответ: чтобы получить функцию общего вида, нужно добавить любое алгебраическое слагаемое, не являющееся нечетной функцией. Например, слагаемое, которое является четной функцией вида $ax^k$, где $a \neq 0$ и $k$ — четное натуральное число, или ненулевую константу $c$.

б) $f(x) = x + x^3$

Данная функция является нечетной, так как представляет собой сумму двух нечетных функций ($x$ и $x^3$). Проверим: $f(-x) = (-x) + (-x)^3 = -x - x^3 = -(x+x^3) = -f(x)$.

1) нечетную функцию

Аналогично пункту а), чтобы получить нечетную функцию, к $f(x) = x + x^3$ нужно прибавить другую нечетную функцию $g(x)$. Например, слагаемое $g(x) = -x$ или $g(x) = 4x^3$. Новая функция, например, $H(x) = (x+x^3) - x = x^3$, также будет нечетной.

Ответ: чтобы получить нечетную функцию, нужно добавить любое алгебраическое слагаемое, которое само является нечетной функцией, например, вида $ax^k$, где $a \neq 0$ и $k$ — нечетное натуральное число.

2) функцию общего вида

Аналогично пункту а), чтобы получить функцию общего вида, к $f(x) = x + x^3$ нужно прибавить слагаемое $g(x)$, не являющееся нечетной функцией. Например, можно добавить ненулевую четную функцию, такую как $g(x) = 7x^4$ или константу $g(x) = 2$. Новая функция, например, $H(x) = x + x^3 + 2$, будет функцией общего вида. Проверим: $H(-x) = (-x) + (-x)^3 + 2 = -x - x^3 + 2$. Это выражение не равно ни $H(x) = x + x^3 + 2$, ни $-H(x) = -x - x^3 - 2$.

Ответ: чтобы получить функцию общего вида, нужно добавить любое алгебраическое слагаемое, не являющееся нечетной функцией. Например, слагаемое, которое является четной функцией вида $ax^k$, где $a \neq 0$ и $k$ — четное натуральное число, или ненулевую константу $c$.