Номер 3.8, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.8. Используя данные, постройте эскиз графика функции $f(x)$:

а) функция на промежутке $(-\infty; \frac{1}{2}]$ возрастает, на промежутке $[\frac{1}{2}; +\infty)$ — убывает;

б) функция на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$ возрастает, на промежутке $[1; 3]$ — убывает;

в) функция на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[1; +\infty)$ убывает, на промежутке $[-4; 1]$ — возрастает;

г) $x_{max} = -1$, $x_{min} = 2$, $f(-1) = 2$, $f(2) = -3$;

д) $f(x)$ — четная функция, $x_{max} = 0$, $x_{min} = 1$, $f(0) = 4$, $f(1) = 0$;

е) $f(x)$ — нечетная функция, $x_{min} = 5$, $f(0) = 2$, $f(5) = -3$.

а) функция на промежутке $(-\infty; \frac{1}{2}]$ возрастает, на промежутке $[\frac{1}{2}; +\infty)$ — убывает;

Из условия следует, что производная функции $f'(x) \ge 0$ при $x \le \frac{1}{2}$ и $f'(x) \le 0$ при $x \ge \frac{1}{2}$. Это означает, что в точке $x = \frac{1}{2}$ функция переходит от возрастания к убыванию. Следовательно, в этой точке функция имеет локальный максимум.

Эскиз графика представляет собой кривую, которая поднимается слева направо до точки с абсциссой $x = \frac{1}{2}$, где достигает своего пика (максимума), а затем опускается при дальнейшем увеличении $x$. Конкретное значение максимума $f(\frac{1}{2})$ не задано, поэтому вершина может находиться на любой высоте. Простейшим примером такой функции является парабола $f(x) = -a(x - \frac{1}{2})^2 + c$ с коэффициентом $a > 0$.

Ответ: Эскиз графика — это кривая, возрастающая до $x = \frac{1}{2}$ и убывающая после. Точка $x = \frac{1}{2}$ является точкой максимума.

б) функция на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$ возрастает, на промежутке $[1; 3]$ — убывает;

Анализируя интервалы монотонности, мы видим, что в точке $x = 1$ функция меняет свое поведение с возрастания на убывание, что соответствует точке локального максимума. В точке $x = 3$ функция переходит от убывания к возрастанию, что указывает на наличие точки локального минимума. Для построения эскиза необходимо, чтобы значение в точке максимума было больше значения в точке минимума, то есть $f(1) > f(3)$.

Эскиз графика будет выглядеть следующим образом: кривая возрастает из $-\infty$ до точки локального максимума при $x=1$. Затем кривая убывает до точки локального минимума при $x=3$. После $x=3$ функция снова начинает возрастать. График по форме напоминает кривую, характерную для многочлена третьей степени с положительным старшим коэффициентом.

Ответ: Эскиз графика — кривая, имеющая локальный максимум в точке $x = 1$ и локальный минимум в точке $x = 3$.

в) функция на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[1; +\infty)$ убывает, на промежутке $[-4; 1]$ — возрастает;

Из условия следует, что в точке $x = -4$ функция переходит от убывания к возрастанию, следовательно, это точка локального минимума. В точке $x = 1$ функция переходит от возрастания к убыванию, что соответствует точке локального максимума. Для корректного эскиза значение в точке максимума должно быть больше значения в точке минимума, то есть $f(1) > f(-4)$.

Эскиз графика выглядит так: кривая убывает из $+\infty$ до точки локального минимума при $x=-4$. Затем функция возрастает до точки локального максимума при $x=1$. После $x=1$ функция снова убывает. График имеет "впадину" (минимум) при $x=-4$ и "холм" (максимум) при $x=1$.

Ответ: Эскиз графика — кривая, имеющая локальный минимум в точке $x = -4$ и локальный максимум в точке $x = 1$.

г) $x_{max} = -1$, $x_{min} = 2$, $f(-1) = 2$, $f(2) = -3$;

В этом пункте даны конкретные координаты точек экстремумов. Точка локального максимума находится в $(-1, 2)$, а точка локального минимума — в $(2, -3)$. Наличие максимума в $x=-1$ и минимума в $x=2$ (и предполагая, что других экстремумов нет) определяет интервалы монотонности функции.

Для построения эскиза необходимо отметить на координатной плоскости точки $(-1, 2)$ и $(2, -3)$. График функции возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$, достигая максимума в точке $(-1, 2)$. Затем функция убывает на промежутке $[-1, 2]$, проходя через точку максимума и достигая минимума в точке $(2, -3)$. Наконец, на промежутке $[2, +\infty)$ функция снова возрастает, уходя вверх из точки минимума.

Ответ: Эскиз графика — это кривая, проходящая через точку локального максимума $(-1, 2)$ и точку локального минимума $(2, -3)$, возрастающая на $(-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$ и убывающая на $[-1, 2]$.

д) $f(x)$ — четная функция, $x_{max} = 0$, $x_{min} = 1$, $f(0) = 4$, $f(1) = 0$;

Четная функция симметрична относительно оси ординат (оси $y$), то есть $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Нам даны точки: максимум в $(0, 4)$ и минимум в $(1, 0)$.

Так как функция четная, то наличие минимума в точке $x = 1$ означает наличие такого же минимума в симметричной точке $x = -1$. Значение функции в этой точке будет таким же: $f(-1) = f(1) = 0$. Таким образом, у нас есть еще одна точка минимума: $(-1, 0)$. Точка максимума $(0, 4)$ лежит на оси симметрии.

Эскиз графика можно построить следующим образом:

1. Отмечаем точки: локальный максимум $(0, 4)$, локальные минимумы $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

2. Функция убывает на интервале $(-\infty, -1]$ до точки минимума $(-1, 0)$.

3. Затем возрастает на интервале $[-1, 0]$ до точки максимума $(0, 4)$.

4. После максимума функция убывает на интервале $[0, 1]$ до точки минимума $(1, 0)$.

5. Наконец, функция возрастает на интервале $[1, +\infty)$.

График имеет W-образную форму.

Ответ: Эскиз графика — это симметричная относительно оси $y$ кривая, имеющая максимум в точке $(0, 4)$ и два минимума в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

е) $f(x)$ — нечетная функция, $x_{min} = 5$, $f(0) = 2$, $f(5) = -3$.

По определению, функция $f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения должна быть симметрична относительно нуля. Если $x=0$ входит в область определения нечетной функции, то должно выполняться условие $f(-0) = -f(0)$, что равносильно $f(0) = -f(0)$, откуда следует, что $2f(0) = 0$ и $f(0) = 0$.

В условии задачи дано, что функция нечетная и одновременно $f(0) = 2$. Эти два условия противоречат друг другу. Следовательно, не существует функции, удовлетворяющей всем перечисленным требованиям одновременно. Построить эскиз такого графика невозможно.

Можно предположить, что в условии допущена опечатка. Если предположить, что $f(0) = 0$ (как и должно быть у нечетной функции, определенной в нуле), то задачу можно решить.

1. Функция нечетная, значит ее график симметричен относительно начала координат.

2. Дана точка минимума при $x=5$ со значением $f(5)=-3$. Точка на графике — $(5, -3)$.

3. В силу симметрии относительно начала координат, должна существовать симметричная точка $(-5, -f(5)) = (-5, -(-3)) = (-5, 3)$.

4. Если в точке $x=5$ находится минимум, то в симметричной точке $x=-5$ будет максимум. Таким образом, в точке $(-5, 3)$ находится локальный максимум.

5. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

Эскиз (при условии $f(0)=0$): кривая возрастает до максимума в точке $(-5, 3)$, затем убывает, проходя через начало координат $(0, 0)$, до минимума в точке $(5, -3)$, и затем снова возрастает.

Ответ: Условия задачи противоречивы, так как для нечетной функции, определенной в точке $x=0$, должно выполняться $f(0)=0$, а в условии дано $f(0)=2$. Построить график на основе исходных данных невозможно.