Номер 3.7, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.7. Найдите наименьший положительный период функции:

а) $f(x) = \cos\left(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x$;

в) $f(x) = \cot\left(\frac{\pi}{4} + 5x\right)$;

г) $f(x) = 6\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.

а) Для функции $f(x) = \cos(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{3})$ наименьший положительный период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период базовой функции, а $k$ — коэффициент при $x$.

Базовая функция — $y = \cos(x)$, её наименьший положительный период $T_0 = 2\pi$.

В данном случае функция имеет вид $f(x) = \cos(kx+b)$, где $k = \frac{5}{2}$.

Следовательно, наименьший положительный период данной функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|\frac{5}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{5}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{5} = \frac{4\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{4\pi}{5}$.

б) Для функции $f(x) = \cos^2{3x} - \sin^2{3x}$ сначала применим тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

В нашем случае $\alpha = 3x$, поэтому функцию можно упростить:

$f(x) = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$.

Теперь находим период для функции $f(x) = \cos(6x)$.

Базовая функция — $y = \cos(x)$, её наименьший положительный период $T_0 = 2\pi$.

Коэффициент при $x$ равен $k = 6$.

Наименьший положительный период равен:

$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|6|} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

в) Для функции $f(x) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4} + 5x)$ наименьший положительный период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

Базовая функция — $y = \text{ctg}(x)$, её наименьший положительный период $T_0 = \pi$.

В данном случае функция имеет вид $f(x) = \text{ctg}(kx+b)$, где $k = 5$.

Следовательно, наименьший положительный период данной функции равен:

$T = \frac{\pi}{|5|} = \frac{\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{\pi}{5}$.

г) Для функции $f(x) = 6\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ сначала применим тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Преобразуем исходную функцию:

$f(x) = 3 \cdot (2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2})$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому функцию можно упростить:

$f(x) = 3\sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 3\sin(x)$.

Теперь находим период для функции $f(x) = 3\sin(x)$.

Базовая функция — $y = \sin(x)$, её наименьший положительный период $T_0 = 2\pi$.

Коэффициент при $x$ равен $k = 1$.

Наименьший положительный период равен:

$T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.