Номер 3.4, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.4. На рисунке 22, а–в построен график функции $y = f(x)$ для всех $x$, удовлетворяющих условию $x \ge 0 (x \le 0)$. Постройте график функции $f(x)$, если известно:

а) $f(x)$ — нечетная функция;

б) $f(x)$ — четная функция;

в) $f(x)$ — ни четная, ни нечетная функция.

Рис. 22

Для решения задачи воспользуемся определениями четной и нечетной функций.

• Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки O(0,0)).

Для графика на рисунке 22, а)

На рисунке задана часть графика для $x \ge 0$.

а) f(x) — нечетная функция;

Чтобы достроить график нечетной функции, необходимо отразить заданную часть графика симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x, y)$ на графике для $x > 0$ перейдет в точку $(-x, -y)$. Поскольку исходная ветвь находится в первой координатной четверти (где $x>0, y>0$), ее отражение будет находиться в третьей координатной четверти (где $x<0, y<0$). Точка $(0,0)$ останется на месте.

Ответ: График для $x < 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x > 0$ относительно начала координат.

б) f(x) — четная функция;

Чтобы достроить график четной функции, необходимо отразить заданную часть графика симметрично относительно оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x, y)$ на графике для $x > 0$ перейдет в точку $(-x, y)$. Поскольку исходная ветвь находится в первой координатной четверти, ее отражение будет находиться во второй координатной четверти (где $x<0, y>0$). В результате получится график, симметричный относительно оси Oy.

Ответ: График для $x < 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x > 0$ относительно оси ординат.

в) f(x) — ни четная, ни нечетная функция.

В этом случае график не обязан обладать какой-либо симметрией. Мы можем достроить его для $x < 0$ произвольно, при условии, что для каждого значения $x$ будет существовать только одно значение $y$. Существует бесконечное множество способов. Например, можно для $x < 0$ начертить луч, выходящий из начала координат в третью четверть, но не являющийся симметричным отражением правой части.

Ответ: График для $x < 0$ можно достроить любым способом, который не создает симметрии относительно оси Oy или начала координат.

Для графика на рисунке 22, б)

На рисунке задана часть графика для $x \le 0$.

а) f(x) — нечетная функция;

Для построения графика нечетной функции отражаем заданную часть ($x \le 0$) симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x, y)$ с $x < 0$ перейдет в точку $(-x, -y)$. Исходная ветвь находится в третьей четверти ($x<0, y<0$). Ее отражение будет находиться в первой четверти, так как $-x > 0$ и $-y > 0$.

Ответ: График для $x > 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x < 0$ относительно начала координат.

б) f(x) — четная функция;

Для построения графика четной функции отражаем заданную часть ($x \le 0$) симметрично относительно оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ с $x < 0$ перейдет в точку $(-x, y)$. Исходная ветвь находится в третьей четверти ($x<0, y<0$). Ее отражение будет находиться в четвертой четверти, так как $-x > 0$, а ордината $y$ останется отрицательной.

Ответ: График для $x > 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x < 0$ относительно оси ординат.

в) f(x) — ни четная, ни нечетная функция.

Достраиваем график для $x > 0$ произвольно, без соблюдения симметрии. Например, можно провести из начала координат луч $y=x$ для $x > 0$. Полученный график не будет симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

Ответ: График для $x > 0$ можно достроить любым способом, который не создает симметрии относительно оси Oy или начала координат.

Для графика на рисунке 22, в)

На рисунке задана часть графика для $x \le 0$.

а) f(x) — нечетная функция;

Отражаем заданную ломаную линию симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x, y)$ с $x < 0$ перейдет в точку $(-x, -y)$. Исходная часть графика расположена во второй четверти ($x<0, y>0$). Симметричное ей отражение будет расположено в четвертой четверти ($x>0, y<0$).

Ответ: График для $x > 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x < 0$ относительно начала координат.

б) f(x) — четная функция;

Отражаем заданную ломаную линию симметрично относительно оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ с $x < 0$ перейдет в точку $(-x, y)$. Исходная часть графика расположена во второй четверти ($x<0, y>0$). Симметричное ей отражение будет расположено в первой четверти ($x>0, y>0$). Получившийся график будет напоминать по форме букву "М".

Ответ: График для $x > 0$ строится путем симметричного отражения графика для $x < 0$ относительно оси ординат.

в) f(x) — ни четная, ни нечетная функция.

Достраиваем график для $x > 0$ произвольным образом, выходя из точки $(0,0)$ и не создавая симметрии. Например, можно провести в первой четверти кривую, не являющуюся зеркальным отражением левой части.

Ответ: График для $x > 0$ можно достроить любым способом, который не создает симметрии относительно оси Oy или начала координат.