Номер 3.3, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.3. Верно ли, что для функции $y = f(x)$ число $T$ является периодом:

а) $f(x) = 2\sin\frac{1}{3}x, T = 6\pi;$

б) $f(x) = \cos\left(5x - \frac{\pi}{8}\right)x, T = 10\pi;$

в) $f(x) = \frac{1}{3}\cot\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{2}\right) + 1, T = \frac{\pi}{3};$

г) $f(x) = \tan5x + 2,5, T = \frac{\pi}{5}?$

а) Для того чтобы определить, является ли число $T$ периодом функции $f(x)$, необходимо найти основной (наименьший положительный) период функции $T_0$ и проверить, является ли $T$ кратным $T_0$. Основной период функции вида $y = A\sin(kx + b)$ вычисляется по формуле $T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$. Для функции $f(x) = 2\sin\frac{1}{3}x$ коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Найдем основной период: $T_0 = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

Заданное число $T = 6\pi$ совпадает с основным периодом функции $T_0$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да.

б) Предположим, что в условии задачи опечатка и функция имеет вид $f(x) = \cos(5x - \frac{\pi}{8})$. Если бы функция была $f(x) = x \cos(5x - \frac{\pi}{8})$, она не была бы периодической из-за множителя $x$. Исходя из предположения об опечатке, найдем основной период функции. Основной период для функции вида $y = A\cos(kx + b)$ равен $T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k = 5$.

Основной период: $T_0 = \frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$.

Любое число вида $n \cdot T_0$, где $n$ - целое положительное число, также является периодом функции. Проверим, выполняется ли это условие для $T = 10\pi$:

$\frac{T}{T_0} = \frac{10\pi}{2\pi/5} = \frac{10\pi \cdot 5}{2\pi} = 25$.

Так как 25 является целым числом, $T = 10\pi$ является периодом функции.

Ответ: да.

в) Основной период функции вида $y = A\text{ctg}(kx + b) + C$ вычисляется по формуле $T_0 = \frac{\pi}{|k|}$. Для функции $f(x) = \frac{1}{3}\text{ctg}(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{2}) + 1$ коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Найдем основной период: $T_0 = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = \pi \cdot 3 = 3\pi$.

Заданное число $T = \frac{\pi}{3}$. Чтобы $T$ было периодом, оно должно быть кратно основному периоду $T_0$, то есть $\frac{T}{T_0}$ должно быть целым числом.

$\frac{T}{T_0} = \frac{\pi/3}{3\pi} = \frac{\pi}{9\pi} = \frac{1}{9}$.

Поскольку $\frac{1}{9}$ не является целым числом, $T = \frac{\pi}{3}$ не является периодом данной функции. Утверждение неверно.

Ответ: нет.

г) Основной период функции вида $y = A\text{tg}(kx + b) + C$ вычисляется по формуле $T_0 = \frac{\pi}{|k|}$. Для функции $f(x) = \text{tg}5x + 2,5$ коэффициент $k = 5$.

Найдем основной период: $T_0 = \frac{\pi}{|5|} = \frac{\pi}{5}$.

Заданное число $T = \frac{\pi}{5}$ совпадает с основным периодом функции $T_0$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да.