Страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Если областью определения четной функции является отрезок $[a; b]$, то что можно сказать о числах $a$ и $b$?

2. Существует ли нечетная функция, принимающая только положительные значения? Ответ поясните.

3. Если функция $y = f(x)$ на множестве действительных чисел возрастает, то функция $y = -f(x)$ будет возрастающей или убывающей?

4. Что означает понятие периодичность функции?

5. Как определить промежутки знакопостоянства функции?

1. По определению, область определения $D(f)$ четной функции $y=f(x)$ должна быть симметрична относительно начала координат. Это означает, что если точка $x$ принадлежит области определения, то и точка $-x$ также должна ей принадлежать. Для отрезка $[a; b]$ это условие выполняется только в том случае, если он симметричен относительно нуля. Следовательно, концы отрезка должны быть противоположными числами.

Ответ: $a = -b$.

2. Нет, такая функция не существует. По определению нечетной функции $y=f(x)$, для любого $x$ из ее области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$. Предположим, что существует нечетная функция, которая принимает только положительные значения, то есть $f(x) > 0$ для всех $x$ из области определения $D(f)$. Возьмем любое $x \in D(f)$, $x \ne 0$. Тогда $-x$ также принадлежит $D(f)$. По нашему предположению, $f(x) > 0$. Но тогда $f(-x) = -f(x)$ будет меньше нуля, то есть $f(-x) < 0$. Это противоречит предположению, что функция принимает только положительные значения. Если же $0 \in D(f)$, то $f(-0)=-f(0)$, откуда $f(0)=0$, что не является положительным значением.

Ответ: Нет, не существует.

3. Если функция $y = f(x)$ возрастает на множестве действительных чисел, это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = -f(x)$. Возьмем те же $x_1$ и $x_2$, где $x_2 > x_1$. Так как $f(x_2) > f(x_1)$, то, умножив обе части этого неравенства на $-1$, мы сменим знак неравенства на противоположный: $-f(x_2) < -f(x_1)$.

Это означает, что $g(x_2) < g(x_1)$.

По определению, если для любых $x_2 > x_1$ выполняется $g(x_2) < g(x_1)$, то функция является убывающей.

Ответ: Убывающей.

4. Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, называемое периодом, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Это означает, что значения функции циклически повторяются через каждый интервал длиной $T$. Наименьшее положительное такое число $T$ называют основным периодом функции.

Ответ: Периодичность функции означает, что существует такое ненулевое число $T$ (период), что для любого $x$ из области определения функции значение $f(x+T)$ равно значению $f(x)$.

5. Промежутки знакопостоянства функции — это такие интервалы из области определения, на которых функция сохраняет свой знак (то есть либо $f(x) > 0$ на всем интервале, либо $f(x) < 0$ на всем интервале).

Чтобы их определить, необходимо:

1. Найти область определения функции $D(f)$.

2. Найти нули функции, то есть решить уравнение $f(x) = 0$.

3. Найти точки, в которых функция не существует (точки разрыва).

4. Нанести нули функции и точки разрыва на числовую ось. Эти точки разобьют область определения на интервалы.

5. Взять любую "пробную" точку из каждого полученного интервала и определить знак значения функции в этой точке. Так как на каждом из этих интервалов функция непрерывна и не обращается в ноль, она сохраняет на нем знак. Знак, полученный в пробной точке, и будет знаком функции на всем интервале.

Ответ: Чтобы определить промежутки знакопостоянства, нужно найти нули функции и ее точки разрыва, нанести их на числовую ось и определить знак функции на каждом из получившихся интервалов, подставив в функцию любое значение из этого интервала.

3.1. Является ли четной функция:

a) $f(x) = -3x^4 + 2.5x^2$;

б) $f(x) = \cos\frac{2x}{3} - 4x^2 + x$;

в) $f(x) = 5\sin^2x + \frac{1}{2} - x$;

г) $f(x) = -2.5x^6 - 5?$;

Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения ($D(f)$) для всех представленных функций — множество всех действительных чисел ($R$), которое является симметричным относительно нуля. Проверим для каждой функции выполнение условия четности.

а) $f(x) = -3x^4 + 2,5x^2$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = -3(-x)^4 + 2,5(-x)^2 = -3x^4 + 2,5x^2$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: да, функция является четной.

б) $f(x) = \cos\frac{2x}{3} - 4x^2 + x$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \cos\frac{2(-x)}{3} - 4(-x)^2 + (-x)$.

Используя свойство четности функции косинус ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и свойства степеней, получаем:

$f(-x) = \cos\frac{2x}{3} - 4x^2 - x$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = \cos\frac{2x}{3} - 4x^2 - x \neq f(x)$.

Условие четности не выполняется, следовательно, функция не является четной.

Ответ: нет, функция не является четной.

в) $f(x) = 5\sin^2x + \frac{1}{2} - x$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = 5\sin^2(-x) + \frac{1}{2} - (-x)$.

Так как $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2$ и функция синус является нечетной ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), то $(\sin(-x))^2 = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$.

Тогда $f(-x) = 5\sin^2x + \frac{1}{2} + x$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = 5\sin^2x + \frac{1}{2} + x \neq f(x)$.

Условие четности не выполняется, следовательно, функция не является четной.

Ответ: нет, функция не является четной.

г) $f(x) = -2,5x^6 - 5$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = -2,5(-x)^6 - 5 = -2,5x^6 - 5$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: да, функция является четной.

3.2. Является ли нечетной функция:

a) $f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 1;$

б) $f(x) = \sin x - 2x^3;$

в) $f(x) = \frac{1}{4}x^3 \cdot \operatorname{ctg}x^2;$

г) $f(x) = 2x|x| - 3x - 1?$

Функция $f(x)$ является нечетной, если для любого значения $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (т.е. если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

2. Для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) Для функции $f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 1$ проверим выполнение условия нечетности. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа) является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 2(-x)^5 - 4(-x)^3 + 1 = -2x^5 + 4x^3 + 1$.

Найдем выражение для $-f(x)$: $-f(x) = -(2x^5 - 4x^3 + 1) = -2x^5 + 4x^3 - 1$.

Так как $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является нечетной. Она является функцией общего вида.

Ответ: нет.

б) Для функции $f(x) = \sin x - 2x^3$ проверим условие нечетности. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sin(-x) - 2(-x)^3$.

Используя свойства нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и степенной функции с нечетным показателем ($(-x)^3 = -x^3$), получаем: $f(-x) = -\sin x - 2(-x^3) = -\sin x + 2x^3$.

Найдем выражение для $-f(x)$: $-f(x) = -(\sin x - 2x^3) = -\sin x + 2x^3$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: да.

в) Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^3 \cdot \operatorname{ctg}x^2$ (где $\operatorname{ctg}x^2 = \operatorname{ctg}(x^2)$) проверим условие нечетности. Область определения функции задается условием $\sin(x^2) \neq 0$, то есть $x^2 \neq k\pi$ для $k \in \{0, 1, 2, ...\}$. Значит, $x \neq \pm \sqrt{k\pi}$. Эта область определения симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1}{4}(-x)^3 \cdot \operatorname{ctg}((-x)^2) = \frac{1}{4}(-x^3) \cdot \operatorname{ctg}(x^2) = -\frac{1}{4}x^3 \operatorname{ctg}(x^2)$.

Найдем выражение для $-f(x)$: $-f(x) = -\left(\frac{1}{4}x^3 \cdot \operatorname{ctg}(x^2)\right) = -\frac{1}{4}x^3 \operatorname{ctg}(x^2)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: да.

г) Для функции $f(x) = 2x|x| - 3x - 1$ проверим условие нечетности. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 2(-x)|-x| - 3(-x) - 1$.

Так как $|-x|=|x|$, получаем: $f(-x) = -2x|x| + 3x - 1$.

Найдем выражение для $-f(x)$: $-f(x) = -(2x|x| - 3x - 1) = -2x|x| + 3x + 1$.

Так как $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является нечетной. Она является функцией общего вида.

Ответ: нет.

3.3. Верно ли, что для функции $y = f(x)$ число $T$ является периодом:

а) $f(x) = 2\sin\frac{1}{3}x, T = 6\pi;$

б) $f(x) = \cos\left(5x - \frac{\pi}{8}\right)x, T = 10\pi;$

в) $f(x) = \frac{1}{3}\cot\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{2}\right) + 1, T = \frac{\pi}{3};$

г) $f(x) = \tan5x + 2,5, T = \frac{\pi}{5}?$

а) Для того чтобы определить, является ли число $T$ периодом функции $f(x)$, необходимо найти основной (наименьший положительный) период функции $T_0$ и проверить, является ли $T$ кратным $T_0$. Основной период функции вида $y = A\sin(kx + b)$ вычисляется по формуле $T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$. Для функции $f(x) = 2\sin\frac{1}{3}x$ коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Найдем основной период: $T_0 = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

Заданное число $T = 6\pi$ совпадает с основным периодом функции $T_0$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да.

б) Предположим, что в условии задачи опечатка и функция имеет вид $f(x) = \cos(5x - \frac{\pi}{8})$. Если бы функция была $f(x) = x \cos(5x - \frac{\pi}{8})$, она не была бы периодической из-за множителя $x$. Исходя из предположения об опечатке, найдем основной период функции. Основной период для функции вида $y = A\cos(kx + b)$ равен $T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае $k = 5$.

Основной период: $T_0 = \frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$.

Любое число вида $n \cdot T_0$, где $n$ - целое положительное число, также является периодом функции. Проверим, выполняется ли это условие для $T = 10\pi$:

$\frac{T}{T_0} = \frac{10\pi}{2\pi/5} = \frac{10\pi \cdot 5}{2\pi} = 25$.

Так как 25 является целым числом, $T = 10\pi$ является периодом функции.

Ответ: да.

в) Основной период функции вида $y = A\text{ctg}(kx + b) + C$ вычисляется по формуле $T_0 = \frac{\pi}{|k|}$. Для функции $f(x) = \frac{1}{3}\text{ctg}(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{2}) + 1$ коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Найдем основной период: $T_0 = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = \pi \cdot 3 = 3\pi$.

Заданное число $T = \frac{\pi}{3}$. Чтобы $T$ было периодом, оно должно быть кратно основному периоду $T_0$, то есть $\frac{T}{T_0}$ должно быть целым числом.

$\frac{T}{T_0} = \frac{\pi/3}{3\pi} = \frac{\pi}{9\pi} = \frac{1}{9}$.

Поскольку $\frac{1}{9}$ не является целым числом, $T = \frac{\pi}{3}$ не является периодом данной функции. Утверждение неверно.

Ответ: нет.

г) Основной период функции вида $y = A\text{tg}(kx + b) + C$ вычисляется по формуле $T_0 = \frac{\pi}{|k|}$. Для функции $f(x) = \text{tg}5x + 2,5$ коэффициент $k = 5$.

Найдем основной период: $T_0 = \frac{\pi}{|5|} = \frac{\pi}{5}$.

Заданное число $T = \frac{\pi}{5}$ совпадает с основным периодом функции $T_0$. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да.