Страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18. Укажите четную функцию:

A) $y = x^3 - \cos x;$

B) $y = x^2 - \cos x;$

C) $y = x - \sin x;$

D) $y = x^3 - \sin 5x.$

Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат. Все предложенные функции определены на всей числовой оси ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), что является симметричным множеством.

Для анализа будем использовать следующие свойства четности:

- Сумма и разность двух четных функций — четная функция.

- Сумма и разность двух нечетных функций — нечетная функция.

- Сумма или разность четной и нечетной функции — функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

- $y = x^n$ — четная при четном $n$ и нечетная при нечетном $n$.

- $y = \cos x$ — четная функция, так как $\cos(-x) = \cos x$.

- $y = \sin x$ — нечетная функция, так как $\sin(-x) = -\sin x$.

Проверим каждый вариант ответа.

A) $y = x^3 - \cos x$

Обозначим $f(x) = x^3 - \cos x$. Эта функция представляет собой разность нечетной функции ($g(x) = x^3$) и четной функции ($h(x) = \cos x$), следовательно, она является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Проверим по определению: $f(-x) = (-x)^3 - \cos(-x) = -x^3 - \cos x$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является четной.

Ответ: не является четной.

B) $y = x^2 - \cos x$

Обозначим $f(x) = x^2 - \cos x$. Эта функция представляет собой разность двух четных функций: $g(x) = x^2$ (степень 2 — четная) и $h(x) = \cos x$. Следовательно, данная функция является четной.

Проверим по определению: $f(-x) = (-x)^2 - \cos(-x) = x^2 - \cos x$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: является четной.

C) $y = x - \sin x$

Обозначим $f(x) = x - \sin x$. Эта функция представляет собой разность двух нечетных функций: $g(x) = x$ (степень 1 — нечетная) и $h(x) = \sin x$. Следовательно, данная функция является нечетной.

Проверим по определению: $f(-x) = (-x) - \sin(-x) = -x - (-\sin x) = -x + \sin x = -(x - \sin x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной, а не четной.

Ответ: не является четной.

D) $y = x^3 - \sin(5x)$

Обозначим $f(x) = x^3 - \sin(5x)$. Эта функция представляет собой разность двух нечетных функций: $g(x) = x^3$ и $h(x) = \sin(5x)$ (так как $\sin(5(-x)) = -\sin(5x)$). Следовательно, данная функция является нечетной.

Проверим по определению: $f(-x) = (-x)^3 - \sin(5(-x)) = -x^3 - (-\sin(5x)) = -x^3 + \sin(5x) = -(x^3 - \sin(5x)) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной, а не четной.

Ответ: не является четной.

Таким образом, единственная четная функция из предложенных — это $y = x^2 - \cos x$.

19. Найдите множество значений функции $y = \sin x - 2$:

A) $(-\infty 0];$

B) $[-3; -1];$

C) $[0; 2];$

D) $(-2; 0].$

Чтобы найти множество значений функции $y = \sin x - 2$, необходимо определить, какие значения может принимать переменная $y$.

Основой данной функции является тригонометрическая функция $f(x) = \sin x$. Множество значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin x \le 1$

Функция $y = \sin x - 2$ получена из функции $\sin x$ путем вычитания константы 2. Это соответствует сдвигу графика функции $\sin x$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Чтобы найти множество значений новой функции, необходимо выполнить то же преобразование с границами множества значений исходной функции. Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-1 - 2 \le \sin x - 2 \le 1 - 2$

Упростим полученное выражение:

$-3 \le y \le -1$

Таким образом, множество значений функции $y = \sin x - 2$ — это отрезок $[-3, -1]$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту B.

Ответ: B) $[-3; -1]$.

20. Найдите область определения функции $y = \frac{5 - x}{1 + x^2}$:

A) $x \neq -2; x \neq 2;$

B) $x \neq 0;$

C) $x \neq -2;$

D) $x - любое число.$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена. В данном случае мы имеем дробно-рациональную функцию $y = \frac{5 - x}{1 + x^2}$.

Единственное ограничение, которое может возникнуть при нахождении области определения такой функции, — это деление на ноль. То есть, необходимо исключить те значения $x$, при которых знаменатель дроби обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю и решим полученное уравнение:

$1 + x^2 = 0$

Выразим $x^2$:

$x^2 = -1$

Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $1 + x^2 \ge 1 + 0$, то есть $1 + x^2 \ge 1$.

Это означает, что знаменатель дроби $1 + x^2$ никогда не равен нулю при любых действительных значениях $x$.

Поскольку знаменатель никогда не обращается в ноль, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Таким образом, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: D) $x$ — любое число.

21. Найдите область определения функции $y = \frac{\sqrt{x}}{x - 4}$:

A) $x \neq 4$;

B) $x \neq -4$;

C) $x \ge 0; x \neq 4$;

D) $x \ge 0$.

Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{x}}{x - 4}$, необходимо определить все значения переменной $x$, при которых данная функция имеет смысл (т.е. можно вычислить ее значение). Для этого нужно учесть два ограничения, вытекающие из вида функции.

1. Ограничение, связанное с квадратным корнем.

В числителе дроби находится выражение $\sqrt{x}$. Арифметический квадратный корень определён только для неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$x \ge 0$.

2. Ограничение, связанное со знаменателем дроби.

В знаменателе дроби находится выражение $x - 4$. Деление на ноль в математике не определено, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно:

$x - 4 \neq 0$.

Решая это простое неравенство, получаем:

$x \neq 4$.

Область определения функции — это множество всех значений $x$, которые удовлетворяют обоим этим условиям одновременно. То есть, $x$ должен быть неотрицательным и не равняться четырём.

Объединяя условия $x \ge 0$ и $x \neq 4$, получаем область определения: все числа от 0 включительно до $+\infty$, за исключением точки 4. В виде промежутков это можно записать так: $x \in [0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь сравним наш результат с предложенными вариантами ответов:

А) $x \neq 4$ – это условие неполное, так как не учитывает ограничение для корня.

B) $x \neq -4$ – это условие неверное, знаменатель обращается в ноль при $x=4$.

C) $x \ge 0; x \neq 4$ – это условие полностью совпадает с полученным нами решением.

D) $x \ge 0$ – это условие неполное, так как не учитывает ограничение для знаменателя.

Таким образом, правильный вариант ответа — C.

Ответ: C) $x \ge 0; x \neq 4$

22. Найдите множество значений функции $y = \frac{1}{x+1} - 7:$

А) $y \neq -1;$

В) $y \neq -7;$

С) $y \neq 1;$

D) $y \neq 7.$

Для того чтобы найти множество значений (или область значений) функции $y = \frac{1}{x+1} - 7$, нужно определить все значения, которые может принимать переменная $y$.

Выразим $x$ из уравнения функции. Сначала перенесем -7 в левую часть: $y + 7 = \frac{1}{x+1}$

Рассмотрим полученное равенство. Выражение в правой части, $\frac{1}{x+1}$, представляет собой дробь, числитель которой равен 1. Такая дробь никогда не может быть равна нулю, так как для равенства дроби нулю необходимо, чтобы ее числитель был равен нулю.

Поскольку правая часть уравнения не может быть равна нулю, то и левая часть не может быть равна нулю. Таким образом, мы получаем условие: $y + 7 \neq 0$

Из этого условия следует, что: $y \neq -7$

Это означает, что $y$ может принимать любое действительное значение, кроме -7. Таким образом, множество значений функции есть объединение интервалов $(-\infty; -7) \cup (-7; +\infty)$.

Геометрически это означает, что график функции $y = \frac{1}{x+1} - 7$ является гиперболой, которая имеет горизонтальную асимптоту $y = -7$. График функции приближается к этой прямой, но никогда ее не пересекает.

Среди предложенных вариантов ответа, наш результат соответствует варианту B).

Ответ: B) $y \neq -7$.