Номер 18, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18. Укажите четную функцию:

A) $y = x^3 - \cos x;$

B) $y = x^2 - \cos x;$

C) $y = x - \sin x;$

D) $y = x^3 - \sin 5x.$

Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат. Все предложенные функции определены на всей числовой оси ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), что является симметричным множеством.

Для анализа будем использовать следующие свойства четности:

- Сумма и разность двух четных функций — четная функция.

- Сумма и разность двух нечетных функций — нечетная функция.

- Сумма или разность четной и нечетной функции — функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

- $y = x^n$ — четная при четном $n$ и нечетная при нечетном $n$.

- $y = \cos x$ — четная функция, так как $\cos(-x) = \cos x$.

- $y = \sin x$ — нечетная функция, так как $\sin(-x) = -\sin x$.

Проверим каждый вариант ответа.

A) $y = x^3 - \cos x$

Обозначим $f(x) = x^3 - \cos x$. Эта функция представляет собой разность нечетной функции ($g(x) = x^3$) и четной функции ($h(x) = \cos x$), следовательно, она является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Проверим по определению: $f(-x) = (-x)^3 - \cos(-x) = -x^3 - \cos x$.

Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является четной.

Ответ: не является четной.

B) $y = x^2 - \cos x$

Обозначим $f(x) = x^2 - \cos x$. Эта функция представляет собой разность двух четных функций: $g(x) = x^2$ (степень 2 — четная) и $h(x) = \cos x$. Следовательно, данная функция является четной.

Проверим по определению: $f(-x) = (-x)^2 - \cos(-x) = x^2 - \cos x$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: является четной.

C) $y = x - \sin x$

Обозначим $f(x) = x - \sin x$. Эта функция представляет собой разность двух нечетных функций: $g(x) = x$ (степень 1 — нечетная) и $h(x) = \sin x$. Следовательно, данная функция является нечетной.

Проверим по определению: $f(-x) = (-x) - \sin(-x) = -x - (-\sin x) = -x + \sin x = -(x - \sin x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной, а не четной.

Ответ: не является четной.

D) $y = x^3 - \sin(5x)$

Обозначим $f(x) = x^3 - \sin(5x)$. Эта функция представляет собой разность двух нечетных функций: $g(x) = x^3$ и $h(x) = \sin(5x)$ (так как $\sin(5(-x)) = -\sin(5x)$). Следовательно, данная функция является нечетной.

Проверим по определению: $f(-x) = (-x)^3 - \sin(5(-x)) = -x^3 - (-\sin(5x)) = -x^3 + \sin(5x) = -(x^3 - \sin(5x)) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной, а не четной.

Ответ: не является четной.

Таким образом, единственная четная функция из предложенных — это $y = x^2 - \cos x$.