Номер 23, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

23. Мяч сбросили с высоты 16 м и он подпрыгивает на $\frac{1}{4}$ высоты падения. Сколько метров пролетит мяч до полной остановки:

A) 26;

B) 25;

C) 27;

D) 16;

E) 24?

Для решения задачи необходимо рассчитать общее расстояние, которое пролетит мяч до полной остановки. Это расстояние складывается из начального падения и суммы всех последующих подскоков (движение вверх и вниз).

1. Начальное падение. Мяч падает с высоты $h_0 = 16$ м.

2. Первый подскок. После падения мяч подпрыгивает на высоту, равную одной четверти высоты падения: $h_1 = 16 \times \frac{1}{4} = 4$ м. Затем он падает с этой высоты обратно на землю. Таким образом, за первый подскок он пролетает $4 \text{ м} + 4 \text{ м} = 8$ м.

3. Второй подскок. Высота второго подскока составит одну четверть от высоты предыдущего: $h_2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1$ м. Расстояние, пройденное за второй подскок (вверх и вниз), равно $1 \text{ м} + 1 \text{ м} = 2$ м.

4. Последующие подскоки. Процесс продолжается, и каждый следующий подскок составляет четверть от предыдущего. Расстояния, которые мяч пролетает за каждый подскок ($8$ м, $2$ м, $0.5$ м, и т.д.), образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Общее расстояние $S$, которое пролетит мяч, равно сумме начального падения и всех расстояний, пройденных во время подскоков:

$S = 16 + (8 + 2 + 0.5 + \dots)$

Сумма в скобках — это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 8$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Сумму этой прогрессии можно вычислить по формуле $S_{прогр.} = \frac{b_1}{1-q}$:

$S_{прогр.} = \frac{8}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{8}{\frac{3}{4}} = 8 \times \frac{4}{3} = \frac{32}{3}$ м.

Теперь, чтобы найти общее расстояние, прибавим к этой сумме начальную высоту падения:

$S = 16 + \frac{32}{3} = \frac{48}{3} + \frac{32}{3} = \frac{80}{3}$ м.

Переведем полученную дробь в десятичный формат:

$S = \frac{80}{3} = 26 \frac{2}{3} \approx 26.67$ м.

Полученный точный ответ $26 \frac{2}{3}$ м не совпадает ни с одним из предложенных вариантов. В таких случаях, вероятно, предполагается округление результата до ближайшего целого числа. Округляя $26.67$ до ближайшего целого, получаем 27.

Ответ: C) 27;