Страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14. а) Найдите разность, девятый член и значение суммы первых десяти членов арифметической прогрессии $3.2$; $4$; $4.8$; ... ;

б) найдите седьмой член и значение суммы первых двадцати членов арифметической прогрессии $40$; $39.6$; $39.2$; ... ;

в) шестой член арифметической прогрессии равен $35$, а значение суммы первых восьми членов равно $220$. Найдите первый член и разность прогрессии;

г) значение разности второго и восьмого членов арифметической прогрессии равно $-60$, суммы третьего и седьмого членов равно $-40$. Найдите первый член прогрессии.

а) Нам дана арифметическая прогрессия, где первые три члена равны $a_1 = 3,2$, $a_2 = 4$ и $a_3 = 4,8$.

1. Сначала найдем разность прогрессии $d$. Разность — это постоянное число, на которое отличается каждый последующий член прогрессии от предыдущего.$d = a_2 - a_1 = 4 - 3,2 = 0,8$.Проверим: $d = a_3 - a_2 = 4,8 - 4 = 0,8$.Итак, разность прогрессии $d = 0,8$.

2. Теперь найдем девятый член прогрессии $a_9$. Формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.Подставим наши значения: $a_1 = 3,2$, $d = 0,8$ и $n = 9$.$a_9 = 3,2 + (9-1) \times 0,8 = 3,2 + 8 \times 0,8 = 3,2 + 6,4 = 9,6$.Девятый член равен $9,6$.

3. Наконец, вычислим сумму первых десяти членов прогрессии $S_{10}$. Формула для суммы первых n членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \times n$.Подставим наши значения: $a_1 = 3,2$, $d = 0,8$ и $n = 10$.$S_{10} = \frac{2 \times 3,2 + (10-1) \times 0,8}{2} \times 10 = \frac{6,4 + 9 \times 0,8}{2} \times 10 = \frac{6,4 + 7,2}{2} \times 10 = \frac{13,6}{2} \times 10 = 6,8 \times 10 = 68$.Сумма первых десяти членов равна $68$.

Ответ: разность прогрессии равна 0,8; девятый член равен 9,6; сумма первых десяти членов равна 68.

б) Нам дана арифметическая прогрессия, где первые три члена равны $a_1 = 40$, $a_2 = 39,6$ и $a_3 = 39,2$.

1. Сначала найдем разность прогрессии $d$.$d = a_2 - a_1 = 39,6 - 40 = -0,4$.Итак, разность прогрессии $d = -0,4$.

2. Найдем седьмой член прогрессии $a_7$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.Подставим значения: $a_1 = 40$, $d = -0,4$ и $n = 7$.$a_7 = 40 + (7-1) \times (-0,4) = 40 + 6 \times (-0,4) = 40 - 2,4 = 37,6$.Седьмой член равен $37,6$.

3. Вычислим сумму первых двадцати членов прогрессии $S_{20}$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \times n$.Подставим значения: $a_1 = 40$, $d = -0,4$ и $n = 20$.$S_{20} = \frac{2 \times 40 + (20-1) \times (-0,4)}{2} \times 20 = (80 + 19 \times (-0,4)) \times 10 = (80 - 7,6) \times 10 = 72,4 \times 10 = 724$.Сумма первых двадцати членов равна $724$.

Ответ: седьмой член равен 37,6; сумма первых двадцати членов равна 724.

в) Нам дано, что шестой член арифметической прогрессии $a_6 = 35$, а сумма первых восьми членов $S_8 = 220$. Нам нужно найти первый член $a_1$ и разность $d$.

1. Запишем данные условия в виде системы уравнений, используя стандартные формулы арифметической прогрессии.Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Для $a_6$:$a_6 = a_1 + (6-1)d \Rightarrow a_1 + 5d = 35$. (1)Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \times n$. Для $S_8$:$S_8 = \frac{2a_1 + (8-1)d}{2} \times 8 = (2a_1 + 7d) \times 4 = 220$.Разделим обе части на 4: $2a_1 + 7d = 55$. (2)

2. Теперь решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными.Из уравнения (1) выразим $a_1$: $a_1 = 35 - 5d$.Подставим это выражение в уравнение (2):$2(35 - 5d) + 7d = 55$$70 - 10d + 7d = 55$$70 - 3d = 55$$3d = 70 - 55$$3d = 15$$d = 5$.

3. Найдем $a_1$, подставив значение $d = 5$ в выражение для $a_1$:$a_1 = 35 - 5 \times 5 = 35 - 25 = 10$.

Ответ: первый член прогрессии равен 10, а разность прогрессии равна 5.

г) Нам дано, что разность второго и восьмого членов арифметической прогрессии равна -60 ($a_2 - a_8 = -60$), а сумма третьего и седьмого членов равна -40 ($a_3 + a_7 = -40$). Нужно найти первый член прогрессии $a_1$.

1. Используем формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, чтобы выразить условия через $a_1$ и $d$.Из первого условия:$a_2 - a_8 = (a_1 + (2-1)d) - (a_1 + (8-1)d) = (a_1 + d) - (a_1 + 7d) = -6d$.Получаем уравнение: $-6d = -60$, откуда $d = 10$.

2. Теперь используем второе условие:$a_3 + a_7 = (a_1 + (3-1)d) + (a_1 + (7-1)d) = (a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 2a_1 + 8d$.Получаем уравнение: $2a_1 + 8d = -40$.

3. Мы уже нашли, что $d = 10$. Подставим это значение во второе уравнение, чтобы найти $a_1$:$2a_1 + 8 \times 10 = -40$$2a_1 + 80 = -40$$2a_1 = -40 - 80$$2a_1 = -120$$a_1 = -60$.

Ответ: первый член прогрессии равен -60.

15. a) Найдите знаменатель, седьмой член и значение суммы первых восьми членов геометрической прогрессии 1,5; 3; 6; ... ;

б) найдите пятый член и значение суммы первых шести членов геометрической прогрессии $ \frac{2}{3}; -2; 6; ... ; $

в) пятый член геометрической прогрессии равен 4, а значение суммы первых трех членов равно 112. Найдите первый член и знаменатель прогрессии;

г) пятый член геометрической прогрессии равен $ \frac{1}{3} $, разность третьего и первого члена равна -24. Найдите первый член прогрессии, если все члены прогрессии положительные числа.

а)

Дана геометрическая прогрессия $1,5; 3; 6; ...$

Первый член прогрессии $b_1 = 1,5$. Второй член $b_2 = 3$.

1. Найдём знаменатель прогрессии (q):

Знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого её члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1,5} = 2$.

2. Найдём седьмой член прогрессии (b₇):

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=7$ имеем:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 1,5 \cdot 2^6 = 1,5 \cdot 64 = 96$.

3. Найдём сумму первых восьми членов прогрессии (S₈):

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Для $n=8$ имеем:

$S_8 = \frac{1,5(2^8 - 1)}{2 - 1} = \frac{1,5(256 - 1)}{1} = 1,5 \cdot 255 = 382,5$.

Ответ: знаменатель равен 2, седьмой член равен 96, значение суммы первых восьми членов равно 382,5.

б)

Дана геометрическая прогрессия $\frac{2}{3}; -2; 6; ...$

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{2}{3}$. Второй член $b_2 = -2$.

1. Найдём знаменатель прогрессии (q):

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2}{2/3} = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$.

2. Найдём пятый член прогрессии (b₅):

Используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$:

$b_5 = \frac{2}{3} \cdot (-3)^{5-1} = \frac{2}{3} \cdot (-3)^4 = \frac{2}{3} \cdot 81 = 2 \cdot 27 = 54$.

3. Найдём сумму первых шести членов прогрессии (S₆):

Используем формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ для $n=6$:

$S_6 = \frac{\frac{2}{3}((-3)^6 - 1)}{-3 - 1} = \frac{\frac{2}{3}(729 - 1)}{-4} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 728}{-4} = \frac{2 \cdot 728}{3 \cdot (-4)} = \frac{1456}{-12} = -\frac{364}{3}$.

Ответ: пятый член равен 54, значение суммы первых шести членов равно $-\frac{364}{3}$.

в)

По условию, пятый член геометрической прогрессии $b_5 = 4$, а сумма первых трёх членов $S_3 = 112$.

Запишем эти условия в виде системы уравнений, используя формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$ и $S_n = b_1 + b_2 + ... + b_n$:

1) $b_5 = b_1 q^4 = 4$

2) $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1+q+q^2) = 112$

Из первого уравнения выразим $b_1$: $b_1 = \frac{4}{q^4}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{4}{q^4}(1+q+q^2) = 112$

Разделим обе части на 4:

$\frac{1+q+q^2}{q^4} = 28$

$1+q+q^2 = 28q^4$

$28q^4 - q^2 - q - 1 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Попробуем найти рациональные корни. Проверка показывает, что $q=\frac{1}{2}$ является корнем:

$28(\frac{1}{2})^4 - (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1 = 28(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{7}{4} - \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = \frac{7-1-2-4}{4} = 0$.

Теперь, зная знаменатель $q = \frac{1}{2}$, найдем первый член $b_1$:

$b_1 = \frac{4}{q^4} = \frac{4}{(1/2)^4} = \frac{4}{1/16} = 4 \cdot 16 = 64$.

Ответ: первый член равен 64, знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{2}$.

г)

По условию, пятый член геометрической прогрессии $b_5 = \frac{1}{3}$, разность третьего и первого членов $b_3 - b_1 = -24$. Также известно, что все члены прогрессии — положительные числа.

Из того, что все члены положительны, следует, что первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q > 0$.

Запишем условия в виде системы уравнений:

1) $b_5 = b_1 q^4 = \frac{1}{3}$

2) $b_3 - b_1 = b_1 q^2 - b_1 = b_1(q^2 - 1) = -24$

Из второго уравнения выразим $b_1$: $b_1 = \frac{-24}{q^2 - 1}$.

Так как $b_1 > 0$, а числитель $-24$ отрицателен, знаменатель $(q^2 - 1)$ также должен быть отрицательным, то есть $q^2 - 1 < 0$, откуда $q^2 < 1$. Учитывая, что $q > 0$, получаем $0 < q < 1$.

Подставим выражение для $b_1$ в первое уравнение:

$\frac{-24}{q^2 - 1} \cdot q^4 = \frac{1}{3}$

$-24q^4 = \frac{1}{3}(q^2 - 1)$

Умножим обе части на 3:

$-72q^4 = q^2 - 1$

$72q^4 + q^2 - 1 = 0$

Сделаем замену $x = q^2$. Так как $q > 0$, то $x > 0$.

$72x^2 + x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 72 \cdot (-1) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 72} = \frac{-1 \pm 17}{144}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-1+17}{144} = \frac{16}{144} = \frac{1}{9}$ и $x_2 = \frac{-1-17}{144} = \frac{-18}{144} = -\frac{1}{8}$.

Так как $x = q^2$ и $q$ - действительное число, $x$ не может быть отрицательным. Поэтому $x_2$ не является решением. Остается $x = \frac{1}{9}$.

$q^2 = \frac{1}{9}$. Поскольку $q > 0$, то $q = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем первый член $b_1$:

$b_1 = \frac{-24}{q^2 - 1} = \frac{-24}{(1/3)^2 - 1} = \frac{-24}{1/9 - 1} = \frac{-24}{-8/9} = 24 \cdot \frac{9}{8} = 3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: первый член прогрессии равен 27.

16. Вычислите значение выражения:

a) $\sin 30^\circ - 2\cos 60^\circ + \cot 45^\circ - \tan 180^\circ;$

б) $\sin 60^\circ - 8\tan 45^\circ - \cos 30^\circ - 8\tan 135^\circ;$

в) $-\cos 300^\circ + \sin 30^\circ - \cot 120^\circ + \tan 210^\circ;$

г) $\tan 60^\circ - \cot 30^\circ + \sin 120^\circ - 3\cos 210^\circ;$

д) $-\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6} + 4\sin \frac{\pi}{6} - 2\cot \frac{5\pi}{4} + 3\tan 0^{\circ};$

е) $\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \cdot \cot \frac{\pi}{6} - 9\tan \frac{9\pi}{4} + 5\cot 0.5\pi.$

а) $sin30° - 2cos60° + ctg45° - tg180°$

Для решения подставим табличные значения тригонометрических функций:

$sin30° = \frac{1}{2}$

$cos60° = \frac{1}{2}$

$ctg45° = 1$

$tg180° = 0$

Выполняем вычисления:

$\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 - 0 = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5

б) $sin60° - 8tg45° - cos30° - 8tg135°$

Подставляем известные значения и используем формулы приведения для $tg135°$:

$sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg45° = 1$

$cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg135° = tg(180° - 45°) = -tg45° = -1$

Подставляем значения в выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - 8 \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} - 8 \cdot (-1) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 8 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 = 0$

Ответ: 0

в) $-cos300° + sin30° - ctg120° + tg210°$

Используем формулы приведения для углов, больших 90°:

$cos300° = cos(360° - 60°) = cos60° = \frac{1}{2}$

$sin30° = \frac{1}{2}$

$ctg120° = ctg(180° - 60°) = -ctg60° = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$tg210° = tg(180° + 30°) = tg30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставляем и вычисляем:

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{3} = 0 + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

г) $tg60° - ctg30° + sin120° - 3cos210°$

Подставляем значения и используем формулы приведения:

$tg60° = \sqrt{3}$

$ctg30° = \sqrt{3}$

$sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos210° = cos(180° + 30°) = -cos30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значения в выражение:

$\sqrt{3} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

д) $-\sqrt{3} cos\frac{\pi}{6} + 4sin\frac{\pi}{6} - 2ctg\frac{5\pi}{4} + 3tg0°$

Найдем значения тригонометрических функций для углов, заданных в радианах:

$cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

$ctg\frac{5\pi}{4} = ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = ctg\frac{\pi}{4} = 1$

$tg0° = tg0 = 0$

Подставляем и вычисляем:

$-\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = -\frac{3}{2} + 2 - 2 + 0 = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: -1,5

е) $\sqrt{3} sin\frac{\pi}{3} - \sqrt{3} \cdot ctg\frac{\pi}{6} - 9tg\frac{9\pi}{4} + 5ctg0,5\pi$

Найдем значения тригонометрических функций:

$sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$ctg\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$

$tg\frac{9\pi}{4} = tg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = tg\frac{\pi}{4} = 1$

$ctg(0,5\pi) = ctg\frac{\pi}{2} = 0$

Подставляем значения в выражение:

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 9 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = \frac{3}{2} - 3 - 9 + 0 = 1,5 - 12 = -10,5$

Ответ: -10,5