Номер 15, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15. a) Найдите знаменатель, седьмой член и значение суммы первых восьми членов геометрической прогрессии 1,5; 3; 6; ... ;

б) найдите пятый член и значение суммы первых шести членов геометрической прогрессии $ \frac{2}{3}; -2; 6; ... ; $

в) пятый член геометрической прогрессии равен 4, а значение суммы первых трех членов равно 112. Найдите первый член и знаменатель прогрессии;

г) пятый член геометрической прогрессии равен $ \frac{1}{3} $, разность третьего и первого члена равна -24. Найдите первый член прогрессии, если все члены прогрессии положительные числа.

а)

Дана геометрическая прогрессия $1,5; 3; 6; ...$

Первый член прогрессии $b_1 = 1,5$. Второй член $b_2 = 3$.

1. Найдём знаменатель прогрессии (q):

Знаменатель геометрической прогрессии равен отношению любого её члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1,5} = 2$.

2. Найдём седьмой член прогрессии (b₇):

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=7$ имеем:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 1,5 \cdot 2^6 = 1,5 \cdot 64 = 96$.

3. Найдём сумму первых восьми членов прогрессии (S₈):

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Для $n=8$ имеем:

$S_8 = \frac{1,5(2^8 - 1)}{2 - 1} = \frac{1,5(256 - 1)}{1} = 1,5 \cdot 255 = 382,5$.

Ответ: знаменатель равен 2, седьмой член равен 96, значение суммы первых восьми членов равно 382,5.

б)

Дана геометрическая прогрессия $\frac{2}{3}; -2; 6; ...$

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{2}{3}$. Второй член $b_2 = -2$.

1. Найдём знаменатель прогрессии (q):

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-2}{2/3} = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$.

2. Найдём пятый член прогрессии (b₅):

Используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$:

$b_5 = \frac{2}{3} \cdot (-3)^{5-1} = \frac{2}{3} \cdot (-3)^4 = \frac{2}{3} \cdot 81 = 2 \cdot 27 = 54$.

3. Найдём сумму первых шести членов прогрессии (S₆):

Используем формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ для $n=6$:

$S_6 = \frac{\frac{2}{3}((-3)^6 - 1)}{-3 - 1} = \frac{\frac{2}{3}(729 - 1)}{-4} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 728}{-4} = \frac{2 \cdot 728}{3 \cdot (-4)} = \frac{1456}{-12} = -\frac{364}{3}$.

Ответ: пятый член равен 54, значение суммы первых шести членов равно $-\frac{364}{3}$.

в)

По условию, пятый член геометрической прогрессии $b_5 = 4$, а сумма первых трёх членов $S_3 = 112$.

Запишем эти условия в виде системы уравнений, используя формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$ и $S_n = b_1 + b_2 + ... + b_n$:

1) $b_5 = b_1 q^4 = 4$

2) $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1+q+q^2) = 112$

Из первого уравнения выразим $b_1$: $b_1 = \frac{4}{q^4}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{4}{q^4}(1+q+q^2) = 112$

Разделим обе части на 4:

$\frac{1+q+q^2}{q^4} = 28$

$1+q+q^2 = 28q^4$

$28q^4 - q^2 - q - 1 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Попробуем найти рациональные корни. Проверка показывает, что $q=\frac{1}{2}$ является корнем:

$28(\frac{1}{2})^4 - (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1 = 28(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{7}{4} - \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = \frac{7-1-2-4}{4} = 0$.

Теперь, зная знаменатель $q = \frac{1}{2}$, найдем первый член $b_1$:

$b_1 = \frac{4}{q^4} = \frac{4}{(1/2)^4} = \frac{4}{1/16} = 4 \cdot 16 = 64$.

Ответ: первый член равен 64, знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{2}$.

г)

По условию, пятый член геометрической прогрессии $b_5 = \frac{1}{3}$, разность третьего и первого членов $b_3 - b_1 = -24$. Также известно, что все члены прогрессии — положительные числа.

Из того, что все члены положительны, следует, что первый член $b_1 > 0$ и знаменатель $q > 0$.

Запишем условия в виде системы уравнений:

1) $b_5 = b_1 q^4 = \frac{1}{3}$

2) $b_3 - b_1 = b_1 q^2 - b_1 = b_1(q^2 - 1) = -24$

Из второго уравнения выразим $b_1$: $b_1 = \frac{-24}{q^2 - 1}$.

Так как $b_1 > 0$, а числитель $-24$ отрицателен, знаменатель $(q^2 - 1)$ также должен быть отрицательным, то есть $q^2 - 1 < 0$, откуда $q^2 < 1$. Учитывая, что $q > 0$, получаем $0 < q < 1$.

Подставим выражение для $b_1$ в первое уравнение:

$\frac{-24}{q^2 - 1} \cdot q^4 = \frac{1}{3}$

$-24q^4 = \frac{1}{3}(q^2 - 1)$

Умножим обе части на 3:

$-72q^4 = q^2 - 1$

$72q^4 + q^2 - 1 = 0$

Сделаем замену $x = q^2$. Так как $q > 0$, то $x > 0$.

$72x^2 + x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 72 \cdot (-1) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 72} = \frac{-1 \pm 17}{144}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-1+17}{144} = \frac{16}{144} = \frac{1}{9}$ и $x_2 = \frac{-1-17}{144} = \frac{-18}{144} = -\frac{1}{8}$.

Так как $x = q^2$ и $q$ - действительное число, $x$ не может быть отрицательным. Поэтому $x_2$ не является решением. Остается $x = \frac{1}{9}$.

$q^2 = \frac{1}{9}$. Поскольку $q > 0$, то $q = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем первый член $b_1$:

$b_1 = \frac{-24}{q^2 - 1} = \frac{-24}{(1/3)^2 - 1} = \frac{-24}{1/9 - 1} = \frac{-24}{-8/9} = 24 \cdot \frac{9}{8} = 3 \cdot 9 = 27$.

Ответ: первый член прогрессии равен 27.