Номер 18, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Упражнения для повторения курса алгебры 7—9 классов - номер 18, страница 7.

Условие.

18. Упростите выражение:

а) $ \frac{4 \cos 4 \alpha}{\operatorname{ctg} 2 \alpha - \operatorname{tg} 2 \alpha} $

б) $ \frac{\sin 2 \alpha + \operatorname{tg} 2 \alpha}{1 + \cos 2 \alpha} $

в) $ \frac{\operatorname{ctg}^2 2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} 2 \alpha} $

г) $ \frac{\cos 4 \alpha + \sin^2 2 \alpha}{0.5 \sin 4 \alpha} $

д) $ \frac{\sin(2 \pi - 2 \alpha)}{\cos(\alpha + \pi) \cdot \operatorname{ctg}\left(\alpha - \frac{3 \pi}{2}\right)} $

е) $ \frac{2 - 2 \sin^2 (\alpha + 0.5 \pi)}{1 - \cos(\alpha - \pi)} - 2 \sin(\alpha + 1.5 \pi) $

ж) $ \frac{\cos(\pi + \alpha) \cdot \cos(1.5 - 2 \alpha)}{2 \operatorname{ctg}(\alpha + 0.5 \pi)} $

з) $ \frac{2 \sin^2 (\alpha - 2 \pi) - 2}{\cos(\alpha + 1.5 \pi) - 1} - 2 \cos(1.5 \pi + \alpha) $

Решение.

Решение 2.

а) $\frac{4\cos4\alpha}{\ctg2\alpha - \tg2\alpha}$

Преобразуем знаменатель, используя определения котангенса и тангенса: $\ctg2\alpha - \tg2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} - \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{\cos^22\alpha - \sin^22\alpha}{\sin2\alpha\cos2\alpha}$.

В числителе получилась формула косинуса двойного угла: $\cos^22\alpha - \sin^22\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos4\alpha$.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $\sin2\alpha\cos2\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin4\alpha$.

Таким образом, знаменатель дроби равен: $\frac{\cos4\alpha}{\frac{1}{2}\sin4\alpha} = \frac{2\cos4\alpha}{\sin4\alpha}$.

Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь: $\frac{4\cos4\alpha}{\frac{2\cos4\alpha}{\sin4\alpha}} = 4\cos4\alpha \cdot \frac{\sin4\alpha}{2\cos4\alpha} = 2\sin4\alpha$.

Ответ: $2\sin4\alpha$

б) $\frac{\sin2\alpha + \tg2\alpha}{1 + \cos2\alpha}$

Вынесем $\sin2\alpha$ за скобки в числителе: $\sin2\alpha + \tg2\alpha = \sin2\alpha + \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \sin2\alpha (1 + \frac{1}{\cos2\alpha}) = \sin2\alpha \frac{\cos2\alpha + 1}{\cos2\alpha}$.

Подставим это в исходное выражение: $\frac{\sin2\alpha \frac{1 + \cos2\alpha}{\cos2\alpha}}{1 + \cos2\alpha}$.

Сократим $(1 + \cos2\alpha)$: $\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \tg2\alpha$.

Ответ: $\tg2\alpha$

в) $\frac{\ctg^22\alpha - 1}{2\ctg2\alpha}$

Данное выражение представляет собой формулу котангенса двойного угла: $\ctg(2x) = \frac{\ctg^2x - 1}{2\ctg x}$.

В нашем случае $x = 2\alpha$.

Следовательно, выражение равно $\ctg(2 \cdot 2\alpha) = \ctg4\alpha$.

Ответ: $\ctg4\alpha$

г) $\frac{\cos4\alpha + \sin^22\alpha}{0,5\sin4\alpha}$

Используем формулу косинуса двойного угла для числителя: $\cos4\alpha = \cos^22\alpha - \sin^22\alpha$.

Числитель становится: $\cos^22\alpha - \sin^22\alpha + \sin^22\alpha = \cos^22\alpha$.

Преобразуем знаменатель, используя формулу синуса двойного угла: $0,5\sin4\alpha = 0,5 \cdot 2\sin2\alpha\cos2\alpha = \sin2\alpha\cos2\alpha$.

Получаем дробь: $\frac{\cos^22\alpha}{\sin2\alpha\cos2\alpha}$.

Сокращаем на $\cos2\alpha$: $\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} = \ctg2\alpha$.

Ответ: $\ctg2\alpha$

д) $\frac{\sin(2\pi - 2\alpha)}{\cos(\alpha + \pi) \cdot \ctg(\alpha - \frac{3\pi}{2})}$

Применим формулы приведения:

$\sin(2\pi - 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$

$\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$

$\ctg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \ctg(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -\ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\tg\alpha$

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{-\sin(2\alpha)}{(-\cos\alpha) \cdot (-\tg\alpha)} = \frac{-\sin(2\alpha)}{\cos\alpha \cdot \tg\alpha}$.

Так как $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, знаменатель равен $\cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha$.

Дробь принимает вид: $\frac{-\sin(2\alpha)}{\sin\alpha}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$: $\frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = -2\cos\alpha$.

Ответ: $-2\cos\alpha$

е) $\frac{2 - 2\sin^2(\alpha + 0,5\pi)}{1 - \cos(\alpha - \pi)} - 2\sin(\alpha + 1,5\pi)$

Упростим первое слагаемое (дробь). Числитель: $2 - 2\sin^2(\alpha + \frac{\pi}{2}) = 2(1 - \sin^2(\alpha + \frac{\pi}{2})) = 2\cos^2(\alpha + \frac{\pi}{2})$.

По формуле приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha$, поэтому числитель равен $2(-\sin\alpha)^2 = 2\sin^2\alpha$.

Знаменатель: $1 - \cos(\alpha - \pi) = 1 - \cos(\pi - \alpha) = 1 - (-\cos\alpha) = 1 + \cos\alpha$.

Дробь: $\frac{2\sin^2\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{2(1-\cos^2\alpha)}{1+\cos\alpha} = \frac{2(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{1+\cos\alpha} = 2(1-\cos\alpha)$.

Упростим второе слагаемое: $-2\sin(\alpha + 1,5\pi) = -2\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2})$.

По формуле приведения $\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\cos\alpha$, поэтому второе слагаемое равно $-2(-\cos\alpha) = 2\cos\alpha$.

Сложим результаты: $2(1-\cos\alpha) + 2\cos\alpha = 2 - 2\cos\alpha + 2\cos\alpha = 2$.

Ответ: $2$

ж) $\frac{\cos(\pi + \alpha) \cdot \cos(1,5\pi - 2\alpha)}{2\ctg(\alpha + 0,5\pi)}$

Применим формулы приведения к каждому множителю.

$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$.

$\cos(1,5\pi - 2\alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$.

$\ctg(\alpha + 0,5\pi) = \ctg(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\tg\alpha$.

Подставляем в выражение: $\frac{(-\cos\alpha) \cdot (-\sin(2\alpha))}{2(-\tg\alpha)} = \frac{\cos\alpha \cdot \sin(2\alpha)}{-2\tg\alpha}$.

Используем формулу $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$: $\frac{\cos\alpha \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha)}{-2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\sin\alpha\cos^2\alpha}{-2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$.

Сокращаем $2\sin\alpha$: $\frac{\cos^2\alpha}{-\frac{1}{\cos\alpha}} = -\cos^2\alpha \cdot \cos\alpha = -\cos^3\alpha$.

Ответ: $-\cos^3\alpha$

з) $\frac{2\sin^2(\alpha - 2\pi) - 2}{\cos(\alpha + 1,5\pi) - 1} - 2\cos(1,5\pi + \alpha)$

Упростим первое слагаемое (дробь). Используем периодичность синуса $\sin(\alpha - 2\pi) = \sin\alpha$.

Числитель: $2\sin^2\alpha - 2 = -2(1 - \sin^2\alpha) = -2\cos^2\alpha$.

Знаменатель: $\cos(\alpha + 1,5\pi) - 1 = \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) - 1$. По формуле приведения $\cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin\alpha$. Знаменатель равен $\sin\alpha - 1$.

Дробь: $\frac{-2\cos^2\alpha}{\sin\alpha - 1}$. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = (1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)$.

$\frac{-2(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha - 1} = \frac{2(\sin\alpha - 1)(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha - 1} = 2(1+\sin\alpha)$.

Упростим второе слагаемое: $-2\cos(1,5\pi + \alpha) = -2\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$. По формуле приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$.

Второе слагаемое равно $-2\sin\alpha$.

Соберем все вместе: $2(1+\sin\alpha) - 2\sin\alpha = 2 + 2\sin\alpha - 2\sin\alpha = 2$.

Ответ: $2$