Номер 6, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. Решите неравенство, используя график квадратичной функции и метод интервалов:

а) $x^2 - 7x + 12 \ge 0;$

б) $x^2 + 6x - 16 < 0;$

в) $-x^2 + 7x - 10 \ge 0;$

г) $-7x^2 + 2x + 5 < 0.$

а) $x^2 - 7x + 12 \ge 0$

Для решения этого неравенства рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 7x + 12$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля.

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 12$. Отсюда находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Это точки пересечения параболы с осью Ox.

Схематически изобразив параболу, мы видим, что функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) на промежутках, где график находится на оси Ox или выше нее. Это происходит при $x \le 3$ и $x \ge 4$.

Применим метод интервалов. Нанесем корни $3$ и $4$ на числовую ось. Точки будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

Ось разделится на три интервала: $(-\infty; 3]$, $[3; 4]$ и $[4; \infty)$.

Определим знак выражения $x^2 - 7x + 12$ в каждом интервале, подставляя пробные точки:

- При $x \in (-\infty; 3)$, например $x=0$: $0^2 - 7(0) + 12 = 12 > 0$. Знак "+".

- При $x \in (3; 4)$, например $x=3.5$: $(3.5)^2 - 7(3.5) + 12 = 12.25 - 24.5 + 12 = -0.25 < 0$. Знак "-".

- При $x \in (4; \infty)$, например $x=5$: $5^2 - 7(5) + 12 = 25 - 35 + 12 = 2 > 0$. Знак "+".

Нам нужны промежутки, где выражение неотрицательно, то есть где стоит знак "+", включая концы промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [4; \infty)$.

б) $x^2 + 6x - 16 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 6x - 16$. Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $x^2 + 6x - 16 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-6 - 10}{2} = -8$ и $x_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $-8$ и $2$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) между корнями. То есть, когда $x$ находится в интервале $(-8; 2)$.

Методом интервалов: наносим на числовую ось точки $-8$ и $2$. Точки выколотые, так как неравенство строгое ($<$).

Интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-8; 2)$, $(2; \infty)$.

- При $x \in (-\infty; -8)$, например $x=-10$: $(-10)^2 + 6(-10) - 16 = 100 - 60 - 16 = 24 > 0$. Знак "+".

- При $x \in (-8; 2)$, например $x=0$: $0^2 + 6(0) - 16 = -16 < 0$. Знак "-".

- При $x \in (2; \infty)$, например $x=3$: $3^2 + 6(3) - 16 = 9 + 18 - 16 = 11 > 0$. Знак "+".

Нам нужен промежуток, где выражение отрицательно, то есть где стоит знак "-".

Ответ: $x \in (-8; 2)$.

в) $-x^2 + 7x - 10 \ge 0$

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 7x - 10$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля.

Найдем нули функции, решив уравнение $-x^2 + 7x - 10 = 0$. Умножим обе части на $-1$: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 \cdot x_2 = 10$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $2$ и $5$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни. То есть, при $x \in [2; 5]$.

Методом интервалов: наносим на числовую ось точки $2$ и $5$. Точки закрашенные (неравенство нестрогое $\ge$).

Интервалы: $(-\infty; 2]$, $[2; 5]$, $[5; \infty)$.

Определим знак выражения $-x^2 + 7x - 10$ в каждом интервале:

- При $x \in (-\infty; 2)$, например $x=0$: $-(0)^2 + 7(0) - 10 = -10 < 0$. Знак "-".

- При $x \in (2; 5)$, например $x=3$: $-(3)^2 + 7(3) - 10 = -9 + 21 - 10 = 2 > 0$. Знак "+".

- При $x \in (5; \infty)$, например $x=6$: $-(6)^2 + 7(6) - 10 = -36 + 42 - 10 = -4 < 0$. Знак "-".

Нам нужен промежуток, где выражение неотрицательно, то есть где стоит знак "+", включая концы.

Ответ: $x \in [2; 5]$.

г) $-7x^2 + 2x + 5 < 0$

Рассмотрим функцию $y = -7x^2 + 2x + 5$. Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-7 < 0$).

Найдем нули функции: $-7x^2 + 2x + 5 = 0$. Умножим на $-1$: $7x^2 - 2x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - 12}{2 \cdot 7} = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7}$ и $x_2 = \frac{2 + 12}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $-\frac{5}{7}$ и $1$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) вне промежутка между корнями. То есть, при $x < -\frac{5}{7}$ и $x > 1$.

Методом интервалов: наносим на числовую ось точки $-\frac{5}{7}$ и $1$. Точки выколотые (неравенство строгое $<$).

Интервалы: $(-\infty; -\frac{5}{7})$, $(-\frac{5}{7}; 1)$, $(1; \infty)$.

Определим знак выражения $-7x^2 + 2x + 5$ в каждом интервале:

- При $x \in (-\infty; -\frac{5}{7})$, например $x=-1$: $-7(-1)^2 + 2(-1) + 5 = -7 - 2 + 5 = -4 < 0$. Знак "-".

- При $x \in (-\frac{5}{7}; 1)$, например $x=0$: $-7(0)^2 + 2(0) + 5 = 5 > 0$. Знак "+".

- При $x \in (1; \infty)$, например $x=2$: $-7(2)^2 + 2(2) + 5 = -28 + 4 + 5 = -19 < 0$. Знак "-".

Нам нужны промежутки, где выражение отрицательно, то есть где стоит знак "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{7}) \cup (1; \infty)$.