Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} x+y=7, \\ x^2-9y=7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x-y=-1, \\ 5x-y^2=-4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy=12, \\ \frac{3}{x}-\frac{1}{y}=\frac{5}{12}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy=2,5, \\ \frac{15}{x}-\frac{1}{y}=1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = 7, \\x^2 - 9y = 7;\end{cases}$

Это система, состоящая из одного линейного и одного нелинейного уравнения. Для ее решения удобно использовать метод подстановки.

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 7 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - 9(7 - x) = 7$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 63 + 9x = 7$

$x^2 + 9x - 63 - 7 = 0$

$x^2 + 9x - 70 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361 = 19^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 19}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 19}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 7 - x$:

При $x_1 = -14$:

$y_1 = 7 - (-14) = 7 + 14 = 21$

При $x_2 = 5$:

$y_2 = 7 - 5 = 2$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-14, 21)$, $(5, 2)$.

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases}2x - y = -1, \\5x - y^2 = -4;\end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 2x + 1$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$5x - (2x + 1)^2 = -4$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$5x - (4x^2 + 4x + 1) = -4$

$5x - 4x^2 - 4x - 1 = -4$

$-4x^2 + x - 1 + 4 = 0$

$-4x^2 + x + 3 = 0$

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$4x^2 - x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2x + 1$:

При $x_1 = -\frac{3}{4}$:

$y_1 = 2 \cdot (-\frac{3}{4}) + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2}$

При $x_2 = 1$:

$y_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

Система имеет два решения.

Ответ: $(-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2})$, $(1, 3)$.

в)

Дана система уравнений:$\begin{cases}xy = 12, \\\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = \frac{5}{12};\end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{12}{x}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{12/x} = \frac{5}{12}$

$\frac{3}{x} - \frac{x}{12} = \frac{5}{12}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $12x$:

$12x \cdot \frac{3}{x} - 12x \cdot \frac{x}{12} = 12x \cdot \frac{5}{12}$

$36 - x^2 = 5x$

$x^2 + 5x - 36 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней.

Корни: $x_1 = -9$, $x_2 = 4$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{12}{x}$:

При $x_1 = -9$:

$y_1 = \frac{12}{-9} = -\frac{4}{3}$

При $x_2 = 4$:

$y_2 = \frac{12}{4} = 3$

Система имеет два решения.

Ответ: $(-9, -\frac{4}{3})$, $(4, 3)$.

г)

Дана система уравнений:$\begin{cases}xy = 2,5, \\\frac{15}{x} - \frac{1}{y} = 1.\end{cases}$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$. Представим $2,5$ в виде дроби $\frac{5}{2}$.

$xy = \frac{5}{2}$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = \frac{5}{2x}$

Подставим во второе уравнение:

$\frac{15}{x} - \frac{1}{5/(2x)} = 1$

$\frac{15}{x} - \frac{2x}{5} = 1$

Умножим обе части на общий знаменатель $5x$:

$5x \cdot \frac{15}{x} - 5x \cdot \frac{2x}{5} = 5x \cdot 1$

$75 - 2x^2 = 5x$

$2x^2 + 5x - 75 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-75) = 25 + 600 = 625 = 25^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{-30}{4} = -\frac{15}{2} = -7,5$

$x_2 = \frac{-5 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{5}{2x}$:

При $x_1 = -\frac{15}{2}$:

$y_1 = \frac{5}{2 \cdot (-\frac{15}{2})} = \frac{5}{-15} = -\frac{1}{3}$

При $x_2 = 5$:

$y_2 = \frac{5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0,5$

Система имеет два решения.

Ответ: $(-7,5, -\frac{1}{3})$, $(5, 0,5)$.