Номер 1, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Упростите выражение:

а) $\frac{3-2b}{a+b} : \frac{9b+9a}{4b^2-9} - \frac{6b}{2b+3}$;

б) $\frac{16a^2-25c^2}{ac+c^2} : \frac{5c-4a}{3c} + \frac{13a+14c}{a+c}$;

В) $(\frac{b+2}{b^2-3b+9} - \frac{6}{b^3+27}) : \frac{3b+15}{2b^2-6b+18}$;

Г) $(\frac{a-1}{a^2+2a+4} - \frac{2}{a^3-8}) : \frac{3-a}{a^2+2a+4}$;

Д) $\frac{2a+1}{a-7} + (\frac{a}{a+8} + \frac{a}{7-a}) : \frac{a}{8+a}$;

е) $(\frac{b}{2b-3} - \frac{b}{3+2b}) : \frac{b}{9+12b+4b^2} + \frac{45-6b}{3-2b}$;

ж) $25\sqrt{b} - 0.5\sqrt{4b} + 100\sqrt{0.16b}$;

3) $\sqrt{98a} + 3\sqrt{242a} - 17\sqrt{512a}$.

а) $\frac{3-2b}{a+b} \cdot \frac{9b+9a}{4b^2-9} - \frac{6b}{2b+3}$

Сначала упростим первое слагаемое. Разложим числитель второй дроби и знаменатель на множители: $9b+9a=9(a+b)$ и $4b^2-9=(2b-3)(2b+3)$. Также заметим, что $3-2b=-(2b-3)$.

$\frac{-(2b-3)}{a+b} \cdot \frac{9(a+b)}{(2b-3)(2b+3)} - \frac{6b}{2b+3}$

Сократим общие множители $(a+b)$ и $(2b-3)$:

$\frac{-1}{1} \cdot \frac{9}{2b+3} - \frac{6b}{2b+3} = -\frac{9}{2b+3} - \frac{6b}{2b+3}$

Теперь вычтем дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{-9-6b}{2b+3} = \frac{-3(3+2b)}{2b+3} = -3$

Ответ: $-3$

б) $\frac{16a^2 - 25c^2}{ac+c^2} : \frac{5c-4a}{3c} + \frac{13a+14c}{a+c}$

Выполним сначала деление. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби: $16a^2-25c^2=(4a-5c)(4a+5c)$ и $ac+c^2=c(a+c)$. Заметим, что $5c-4a=-(4a-5c)$. Деление заменяем на умножение на обратную дробь:

$\frac{(4a-5c)(4a+5c)}{c(a+c)} \cdot \frac{3c}{-(4a-5c)} + \frac{13a+14c}{a+c}$

Сократим общие множители $c$ и $(4a-5c)$:

$\frac{4a+5c}{a+c} \cdot \frac{3}{-1} + \frac{13a+14c}{a+c} = \frac{-3(4a+5c)}{a+c} + \frac{13a+14c}{a+c} = \frac{-12a-15c}{a+c} + \frac{13a+14c}{a+c}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{-12a-15c+13a+14c}{a+c} = \frac{a-c}{a+c}$

Ответ: $\frac{a-c}{a+c}$

в) $(\frac{b+2}{b^2-3b+9} - \frac{6}{b^3+27}) : \frac{3b+15}{2b^2-6b+18}$

Упростим выражение в скобках. Используем формулу суммы кубов: $b^3+27=b^3+3^3=(b+3)(b^2-3b+9)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(b+2)(b+3)}{(b+3)(b^2-3b+9)} - \frac{6}{(b+3)(b^2-3b+9)} = \frac{b^2+3b+2b+6-6}{(b+3)(b^2-3b+9)} = \frac{b^2+5b}{b^3+27} = \frac{b(b+5)}{b^3+27}$

Теперь выполним деление. Разложим на множители делитель: $3b+15=3(b+5)$ и $2b^2-6b+18=2(b^2-3b+9)$.

$\frac{b(b+5)}{b^3+27} : \frac{3(b+5)}{2(b^2-3b+9)} = \frac{b(b+5)}{(b+3)(b^2-3b+9)} \cdot \frac{2(b^2-3b+9)}{3(b+5)}$

Сократим общие множители $(b+5)$ и $(b^2-3b+9)$:

$\frac{b}{b+3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2b}{3(b+3)}$

Ответ: $\frac{2b}{3(b+3)}$

г) $(\frac{a-1}{a^2+2a+4} - \frac{2}{a^3-8}) : \frac{3-a}{a^2+2a+4}$

Упростим выражение в скобках, используя формулу разности кубов: $a^3-8=a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4)$.

$\frac{(a-1)(a-2)}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{2}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2-2a-a+2-2}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2-3a}{a^3-8} = \frac{a(a-3)}{a^3-8}$

Теперь выполним деление. Заметим, что $3-a=-(a-3)$.

$\frac{a(a-3)}{a^3-8} : \frac{-(a-3)}{a^2+2a+4} = \frac{a(a-3)}{(a-2)(a^2+2a+4)} \cdot \frac{a^2+2a+4}{-(a-3)}$

Сократим общие множители $(a-3)$ и $(a^2+2a+4)$:

$\frac{a}{a-2} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{a}{a-2}$

Ответ: $-\frac{a}{a-2}$

д) $\frac{2a+1}{a-7} + (\frac{a}{a+8} + \frac{a}{7-a}) : \frac{a}{8+a}$

Сначала выполним действия в скобках: $7-a=-(a-7)$.

$\frac{a}{a+8} + \frac{a}{-(a-7)} = \frac{a}{a+8} - \frac{a}{a-7} = \frac{a(a-7)-a(a+8)}{(a+8)(a-7)} = \frac{a^2-7a-a^2-8a}{(a+8)(a-7)} = \frac{-15a}{(a+8)(a-7)}$

Теперь выполним деление:

$\frac{-15a}{(a+8)(a-7)} : \frac{a}{a+8} = \frac{-15a}{(a+8)(a-7)} \cdot \frac{a+8}{a}$

Сократим общие множители $a$ и $(a+8)$: $\frac{-15}{a-7}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{2a+1}{a-7} + \frac{-15}{a-7} = \frac{2a+1-15}{a-7} = \frac{2a-14}{a-7} = \frac{2(a-7)}{a-7} = 2$

Ответ: $2$

е) $(\frac{b}{2b-3} - \frac{b}{3+2b}) : \frac{b}{9+12b+4b^2} + \frac{45-6b}{3-2b}$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{b}{2b-3} - \frac{b}{2b+3} = \frac{b(2b+3)-b(2b-3)}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{2b^2+3b-2b^2+3b}{4b^2-9} = \frac{6b}{4b^2-9}$

Теперь деление. Знаменатель делителя $9+12b+4b^2 = (3+2b)^2$.

$\frac{6b}{4b^2-9} : \frac{b}{(2b+3)^2} = \frac{6b}{(2b-3)(2b+3)} \cdot \frac{(2b+3)^2}{b}$

Сокращаем $b$ и $(2b+3)$: $\frac{6(2b+3)}{2b-3} = \frac{12b+18}{2b-3}$.

Теперь сложение. Заметим, что $3-2b=-(2b-3)$.

$\frac{12b+18}{2b-3} + \frac{45-6b}{-(2b-3)} = \frac{12b+18}{2b-3} - \frac{45-6b}{2b-3} = \frac{12b+18-(45-6b)}{2b-3} = \frac{12b+18-45+6b}{2b-3} = \frac{18b-27}{2b-3} = \frac{9(2b-3)}{2b-3} = 9$

Ответ: $9$

ж) $25\sqrt{b} - 0,5\sqrt{4b} + 100\sqrt{0,16b}$

Упростим каждое слагаемое, вынося множители из-под знака корня:

$25\sqrt{b} - 0,5\sqrt{4}\sqrt{b} + 100\sqrt{0,16}\sqrt{b} = 25\sqrt{b} - 0,5 \cdot 2\sqrt{b} + 100 \cdot 0,4\sqrt{b}$

$25\sqrt{b} - 1\sqrt{b} + 40\sqrt{b}$

Сложим коэффициенты при $\sqrt{b}$:

$(25 - 1 + 40)\sqrt{b} = 64\sqrt{b}$

Ответ: $64\sqrt{b}$

з) $\sqrt{98a} + 3\sqrt{242a} - 17\sqrt{512a}$

Упростим каждый корень, вынося из-под знака корня множители, являющиеся полными квадратами:

$\sqrt{49 \cdot 2a} + 3\sqrt{121 \cdot 2a} - 17\sqrt{256 \cdot 2a}$

$= \sqrt{49}\sqrt{2a} + 3\sqrt{121}\sqrt{2a} - 17\sqrt{256}\sqrt{2a}$

$= 7\sqrt{2a} + 3 \cdot 11\sqrt{2a} - 17 \cdot 16\sqrt{2a}$

$= 7\sqrt{2a} + 33\sqrt{2a} - 272\sqrt{2a}$

Приведем подобные слагаемые:

$(7 + 33 - 272)\sqrt{2a} = (40 - 272)\sqrt{2a} = -232\sqrt{2a}$

Ответ: $-232\sqrt{2a}$