Номер 3, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. Найдите корни уравнения:

а) $\frac{3}{x+7} = \frac{2}{9-x}$;

б) $\frac{x+5}{3} = \frac{5}{3+x}$;

В) $\frac{x+1}{x-2} = \frac{2+x}{1+x}$;

Г) $\frac{x}{x-3} - \frac{4}{3-x} = 0$;

Д) $\frac{x}{x-5} + \frac{6}{25-x^2} = 0$;

е) $\frac{x}{4+x} + \frac{x}{5-x} = \frac{x^2}{x-5}$;

Ж) $\frac{6}{x^2-4} - \frac{3}{x-2} = \frac{1}{x+2}$.

а) $\frac{3}{x+7} = \frac{2}{9-x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x + 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$

$9 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 9$

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3 \cdot (9-x) = 2 \cdot (x+7)$

Раскроем скобки:

$27 - 3x = 2x + 14$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$27 - 14 = 2x + 3x$

$13 = 5x$

$x = \frac{13}{5} = 2.6$

Полученный корень $x=2.6$ входит в область допустимых значений, так как $2.6 \neq -7$ и $2.6 \neq 9$.

Ответ: 2.6

б) $\frac{x+5}{3} = \frac{5}{3+x}$

ОДЗ: $3+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Используем перекрестное умножение:

$(x+5)(3+x) = 3 \cdot 5$

$x^2 + 3x + 5x + 15 = 15$

$x^2 + 8x + 15 - 15 = 0$

$x^2 + 8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x+8=0 \Rightarrow x_2 = -8$

Оба корня, $0$ и $-8$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).

Ответ: -8; 0.

в) $\frac{x+1}{x-2} = \frac{2+x}{1+x}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $1+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

Используем перекрестное умножение:

$(x+1)(1+x) = (x-2)(2+x)$

Применим формулы сокращенного умножения: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$(x+1)^2 = (x-2)(x+2)$

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 4$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$2x + 1 = -4$

$2x = -4 - 1$

$2x = -5$

$x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Корень $x = -2.5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -1$).

Ответ: -2.5

г) $\frac{x}{x-3} - \frac{4}{3-x} = 0$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Подставим это в уравнение:

$\frac{x}{x-3} - \frac{4}{-(x-3)} = 0$

$\frac{x}{x-3} + \frac{4}{x-3} = 0$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{x+4}{x-3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Проверяем, что корень удовлетворяет ОДЗ: $-4 \neq 3$.

Ответ: -4

д) $\frac{x}{x-5} + \frac{6}{25-x^2} = 0$

ОДЗ: $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ и $25-x^2 \neq 0 \Rightarrow (5-x)(5+x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 5$.

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $25-x^2 = -(x^2-25) = -(x-5)(x+5)$.

$\frac{x}{x-5} - \frac{6}{(x-5)(x+5)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-5)(x+5)$:

$\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{6}{(x-5)(x+5)} = 0$

$\frac{x(x+5) - 6}{(x-5)(x+5)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$x(x+5) - 6 = 0$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-5$, а произведение равно $-6$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 5$).

Ответ: -6; 1.

е) $\frac{x}{4+x} + \frac{x}{5-x} = \frac{x^2}{x-5}$

ОДЗ: $4+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$ и $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.

Преобразуем уравнение, учитывая что $5-x = -(x-5)$:

$\frac{x}{4+x} - \frac{x}{x-5} = \frac{x^2}{x-5}$

Перенесем член $\frac{x}{x-5}$ в правую часть:

$\frac{x}{x+4} = \frac{x^2}{x-5} + \frac{x}{x-5}$

$\frac{x}{x+4} = \frac{x^2+x}{x-5}$

$\frac{x}{x+4} = \frac{x(x+1)}{x-5}$

Рассмотрим два случая.Случай 1: $x = 0$. Подстановка в уравнение дает $\frac{0}{4} = \frac{0}{ -5}$, то есть $0=0$. Следовательно, $x=0$ является корнем.Случай 2: $x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $x$:

$\frac{1}{x+4} = \frac{x+1}{x-5}$

Применим перекрестное умножение:

$1 \cdot (x-5) = (x+1)(x+4)$

$x-5 = x^2 + 4x + x + 4$

$x-5 = x^2 + 5x + 4$

$x^2 + 4x + 9 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Единственный корень исходного уравнения — $x=0$, который удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 0

ж) $\frac{6}{x^2-4} - \frac{3}{x-2} = \frac{1}{x+2}$

ОДЗ: $x^2-4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$.

Разложим знаменатель первой дроби: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Это будет общий знаменатель.

$\frac{6}{(x-2)(x+2)} - \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{1(x-2)}{(x+2)(x-2)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2)$ (он не равен нулю в ОДЗ) и получим уравнение для числителей:

$6 - 3(x+2) = 1(x-2)$

$6 - 3x - 6 = x - 2$

$-3x = x - 2$

$2 = x + 3x$

$2 = 4x$

$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

Корень $x = 0.5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Ответ: 0.5