Страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11. Чему равен квадрат значения выражения

$\operatorname{arctg}0 - \arccos{\frac{1}{2}} - \arcsin{\frac{1}{2}} + \operatorname{arctg}0$:

A) 2;

B) 1;

C) 4;

D) 0?

Для решения задачи требуется найти значение выражения $arctg0 - arccos\frac{1}{2} - arcsin\frac{1}{2} + arcctg0$, а затем возвести полученный результат в квадрат.

Обозначим данное выражение как $E$: $E = arctg0 - arccos\frac{1}{2} - arcsin\frac{1}{2} + arcctg0$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений: $E = (arctg0 + arcctg0) - (arccos\frac{1}{2} + arcsin\frac{1}{2})$

Для дальнейшего решения воспользуемся основными тождествами для обратных тригонометрических функций:

1. Тождество для арксинуса и арккосинуса: $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ для любого $x \in [-1, 1]$. В нашем случае $x = \frac{1}{2}$, что удовлетворяет условию. Следовательно: $arccos\frac{1}{2} + arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$

2. Тождество для арктангенса и арккотангенса: $arctg(x) + arcctg(x) = \frac{\pi}{2}$ для любого действительного числа $x$. В нашем случае $x = 0$. Следовательно: $arctg0 + arcctg0 = \frac{\pi}{2}$

Теперь подставим значения, полученные из тождеств, в сгруппированное выражение: $E = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$

Таким образом, значение исходного выражения равно 0.

По условию задачи необходимо найти квадрат значения выражения: $E^2 = 0^2 = 0$

Ответ: 0

12. Площадь квадрата равна $81 \text{ см}^2$. Найдите периметр второго квадрата, если длина его стороны составляет $25\%$ от длины стороны первого квадрата:

A) 18;

B) 10;

C) 4;

D) 9;

E) 15.

1. Нахождение стороны первого квадрата.

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны.

По условию задачи, площадь первого квадрата $S_1 = 81$ см².

Следовательно, длина стороны первого квадрата $a_1$ равна:

$a_1 = \sqrt{S_1} = \sqrt{81} = 9$ см.

2. Нахождение стороны второго квадрата.

Длина стороны второго квадрата ($a_2$) составляет 25% от длины стороны первого квадрата ($a_1$).

Переведем 25% в десятичную дробь: $25\% = \frac{25}{100} = 0.25$.

Теперь вычислим длину стороны второго квадрата:

$a_2 = a_1 \times 0.25 = 9 \times 0.25 = 2.25$ см.

3. Нахождение периметра второго квадрата.

Периметр квадрата ($P$) вычисляется по формуле $P = 4a$.

Вычислим периметр второго квадрата ($P_2$):

$P_2 = 4 \times a_2 = 4 \times 2.25 = 9$ см.

Полученный результат (9 см) соответствует варианту ответа D).

Ответ: 9.

13. 15 кг груш и 6 кг яблок стоят столько, сколько 5 кг груш и 18 кг яблок. Во сколько раз цена 1 кг груш больше цены 1 кг яблок:

A) в 2 раза;

B) в 3 раза.

C) в 2,5 раза;

D) в 1,5 раза;

E) в 1,2 раза?

Обозначим цену за 1 кг груш переменной $Г$, а цену за 1 кг яблок — переменной $Я$.

Согласно условию, стоимость 15 кг груш и 6 кг яблок равна стоимости 5 кг груш и 18 кг яблок. Это можно записать в виде математического уравнения:

$15Г + 6Я = 5Г + 18Я$

Нам необходимо найти, во сколько раз цена 1 кг груш больше цены 1 кг яблок, то есть найти значение отношения $\frac{Г}{Я}$.

Для этого решим составленное уравнение. Сгруппируем члены с переменной $Г$ в левой части уравнения, а члены с переменной $Я$ — в правой:

$15Г - 5Г = 18Я - 6Я$

Выполним вычитание:

$10Г = 12Я$

Теперь, чтобы найти отношение $\frac{Г}{Я}$, разделим обе части равенства на $10Я$:

$\frac{Г}{Я} = \frac{12}{10}$

$\frac{Г}{Я} = 1,2$

Результат показывает, что цена 1 кг груш в 1,2 раза больше цены 1 кг яблок.

Ответ: в 1,2 раза.

14. Найдите наибольшее трехзначное число, при делении которого на 25 остаток будет равен единице:

A) 976; B) 975. C) 974; D) 966; E) 964.

Пусть искомое число — $N$. Согласно условию, при делении числа $N$ на 25 в остатке должна получиться единица. Это можно записать в виде формулы: $N = 25 \cdot k + 1$, где $k$ — это частное от деления (целое число).

Нам необходимо найти наибольшее трехзначное число, которое удовлетворяет этому условию. Наибольшее возможное трехзначное число — это 999.

Чтобы найти искомое число, сначала определим наибольшее трехзначное число, которое делится на 25 без остатка. Для этого разделим 999 на 25:

$999 \div 25 = 39$ с остатком 24.

Это означает, что $999 = 25 \cdot 39 + 24$.

Следовательно, наибольшее трехзначное число, которое делится на 25 нацело, — это $25 \cdot 39 = 975$.

Теперь, чтобы получить число, которое при делении на 25 дает остаток 1, нужно к наибольшему кратному 25 числу прибавить 1.

$N = 975 + 1 = 976$.

Полученное число 976 является трехзначным. Проверим, является ли оно наибольшим с таким свойством. Следующее такое число будет $976 + 25 = 1001$, но оно уже четырехзначное. Таким образом, 976 — это искомое наибольшее трехзначное число.

Ответ: A) 976.

15. Числа в таблицах составлены по определенной закономерности. Найдите неизвестное число:

A) 150; B) 160. C) 140; D) 130; E) 170.

Чтобы найти неизвестное число, необходимо выявить закономерность, по которой составлены числа в представленных таблицах. Обозначим числа в ячейках каждой таблицы следующим образом: A (левая верхняя), B (правая верхняя), C (левая нижняя) и D (правая нижняя).

Рассмотрим первую таблицу: A = 3, B = 5, C = 4, D = 60. Проверим гипотезу о том, что число D является произведением трех других чисел.Выполним умножение: $A \times B \times C = 3 \times 5 \times 4 = 60$.Результат совпадает с числом D, значит, закономерность $D = A \times B \times C$ верна для первой таблицы.

Проверим эту же закономерность на второй таблице: A = 2, B = 6, C = 5, D = 60.Выполним умножение: $A \times B \times C = 2 \times 6 \times 5 = 60$.Закономерность подтверждается и для второй таблицы.

Теперь, используя установленную закономерность, найдем неизвестное число в третьей таблице. Здесь A = 4, B = 7, C = 5, а D — искомое число.Вычислим произведение: $D = 4 \times 7 \times 5 = 28 \times 5 = 140$.

Таким образом, неизвестное число равно 140.

Ответ: 140.