Страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

ОБЪЯСНИТЕ

Почему уравнение $3\cos x = 4$ не имеет решения?

1. Назовите отличия между тригонометрическими и алгебраическими уравнениями.

2. Почему тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений? Встречаются ли такие случаи в алгебраических уравнениях? Объясните причину.

3. Какое преобразование используется в случае, когда в обеих частях тригонометрического уравнения дана одна и та же тригонометрическая функция в виде множителя?

4. Можно ли сказать, что уравнение $2\sin x + \cos x = 3$ является простейшим тригонометрическим уравнением?

Почему уравнение 3cosx = 4 не имеет решения?

Для решения этого уравнения сначала выразим $\cos x$:

$3\cos x = 4$

$\cos x = \frac{4}{3}$

Функция косинус определена для любых значений аргумента $x$, но её область значений — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.

Число $\frac{4}{3}$ равно $1\frac{1}{3}$, что очевидно больше 1. Так как значение $\frac{4}{3}$ не принадлежит области значений функции косинус, не существует такого угла $x$, косинус которого был бы равен $\frac{4}{3}$.

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как оно сводится к виду $\cos x = \frac{4}{3}$, а число $\frac{4}{3}$ не входит в область значений функции $y = \cos x$, которая равна $[-1; 1]$.

1. Назовите отличия между тригонометрическими и алгебраическими уравнениями.

Тригонометрические и алгебраические уравнения имеют несколько ключевых отличий:

1. Содержание переменной: В тригонометрических уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции (например, $\sin x = 0.5$). В алгебраических уравнениях над переменной выполняются алгебраические операции (например, $x^3 + 2x - 5 = 0$).

2. Количество решений: Тригонометрические уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений из-за периодической природы тригонометрических функций. Решения записываются в виде общих формул (серий), включающих целочисленный параметр $k$ (например, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$). Алгебраические уравнения (полиномиальные) имеют конечное число корней, которое не превышает степень многочлена.

3. Методы решения: Для решения тригонометрических уравнений используются тригонометрические тождества, формулы приведения, методы введения вспомогательного угла и т.д. Для алгебраических — формулы для корней, разложение на множители, теорема Виета и другие алгебраические приемы.

Ответ: Основные отличия: в тригонометрических уравнениях переменная стоит под знаком тригонометрической функции, и они, как правило, имеют бесконечное число решений из-за периодичности. Алгебраические уравнения не содержат тригонометрических функций и имеют конечное число решений.

2. Почему тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений? Встречаются ли такие случаи в алгебраических уравнениях? Объясните причину.

Тригонометрические уравнения чаще всего имеют бесконечное множество решений из-за периодичности тригонометрических функций. Это свойство означает, что значения функции повторяются через определенный интервал, называемый периодом. Например, $\sin(x) = \sin(x + 2\pi k)$ для любого целого $k$. Поэтому, если мы находим одно решение $x_0$ для уравнения $\sin x = a$, то все значения $x_0 + 2\pi k$ также будут решениями, что и порождает бесконечную серию корней.

Да, в алгебраических уравнениях также возможна ситуация с бесконечным множеством решений. Это происходит, когда уравнение представляет собой тождество — равенство, верное для всех допустимых значений переменной. Например, уравнение $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ является тождеством, так как после преобразования левой части мы получим правую. Такое уравнение имеет бесконечно много решений.

Причина в обоих случаях разная: в тригонометрии — это фундаментальное свойство самих функций (периодичность), а в алгебре — это результат того, что уравнение после упрощений сводится к форме $A=A$, то есть является эквивалентностью двух выражений.

Ответ: Тригонометрические уравнения имеют бесконечное число решений из-за периодичности тригонометрических функций. В алгебре бесконечное множество решений имеют уравнения-тождества, которые верны при любых значениях переменной из области определения.

3. Какое преобразование используется в случае, когда в обеих частях тригонометрического уравнения дана одна и та же тригонометрическая функция в виде множителя?

В этом случае применяется метод разложения на множители. Не следует делить обе части уравнения на общий множитель, содержащий переменную, так как это приведет к потере корней. Правильным преобразованием является перенос всех слагаемых в одну часть уравнения и вынесение общего множителя за скобки.

Например, для уравнения $\sin x \cdot \cos x = \sqrt{3} \sin x$:

1. Переносим все в левую часть: $\sin x \cdot \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$.

2. Выносим общий множитель $\sin x$ за скобки: $\sin x (\cos x - \sqrt{3}) = 0$.

3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений: $\sin x = 0$ или $\cos x - \sqrt{3} = 0$.

Решение этой совокупности даст все корни исходного уравнения.

Ответ: Используется перенос всех членов уравнения в одну сторону и вынесение общего множителя (тригонометрической функции) за скобки.

4. Можно ли сказать, что уравнение 2sinx + cosx = 3 является простейшим тригонометрическим уравнением?

Нет, данное уравнение не является простейшим. Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ и $\cot x = a$, где $a$ — действительное число.

Уравнение $2\sin x + \cos x = 3$ относится к классу линейных тригонометрических уравнений вида $a\sin x + b\cos x = c$. Его решение требует применения более сложных техник, например, метода введения вспомогательного угла. Кроме того, данное уравнение не имеет решений, поскольку максимальное значение выражения в левой части, $a\sin x + b\cos x$, равно $\sqrt{a^2+b^2}$. В нашем случае это $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, а правая часть равна 3, то равенство $2\sin x + \cos x = 3$ невозможно.

Ответ: Нет, это уравнение не является простейшим. Это линейное тригонометрическое уравнение, которое решается более сложными методами, чем простейшие уравнения вида $\sin x = a$.