Страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите корни уравнений (8.13–8.14):

8.13. a) $2\sin^2 2x + 3\cos^2 2x = 5 \sin 2x \cdot \cos 2x;$

б) $3\sin^2 2x - \sin 2x \cdot \cos 2x - 4 \cos^2 2x = 0.$

а) $2\sin^2 2x + 3\cos^2 2x = 5\sin 2x \cdot \cos 2x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить однородное тригонометрическое уравнение:

$2\sin^2 2x - 5\sin 2x \cos 2x + 3\cos^2 2x = 0$

Проверим, может ли $\cos 2x$ быть равен нулю. Если $\cos 2x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$ следует, что $\sin^2 2x = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$2(1) - 5 \cdot \sin 2x \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 2$.

Получаем $2=0$, что является неверным равенством. Следовательно, $\cos 2x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 2x$.

$\frac{2\sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{5\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} + \frac{3\cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$2\tan^2 2x - 5\tan 2x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной, пусть $t = \tan 2x$. Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 5t + 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

$t_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого из корней:

1) $\tan 2x = 1$.

$2x = \arctan(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan 2x = \frac{3}{2}$.

$2x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3\sin^2 2x - \sin 2x \cdot \cos 2x - 4\cos^2 2x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Как и в предыдущем задании, проверим, может ли $\cos 2x = 0$. Если $\cos 2x = 0$, то $\sin^2 2x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем:

$3(1) - 0 - 0 = 3$.

Равенство $3=0$ неверно, значит $\cos 2x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 2x$:

$\frac{3\sin^2 2x}{\cos^2 2x} - \frac{\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x} - \frac{4\cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$

$3\tan^2 2x - \tan 2x - 4 = 0$

Произведем замену $t = \tan 2x$, что приводит к квадратному уравнению:

$3t^2 - t - 4 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.

$t_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Сделаем обратную замену:

1) $\tan 2x = -1$.

$2x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan 2x = \frac{4}{3}$.

$2x = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{4}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{4}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

8.14. a) $3\sin^2\frac{x}{3} + 2\cos^2\frac{x}{3} - 7\sin\frac{x}{3} \cdot \cos\frac{x}{3} = 0;$

б) $2\cos^2 3x + \sin^2 3x - 3\sin 3x \cdot \cos 3x = 0.$

а) Дано уравнение $3\sin^2\frac{x}{3} + 2\cos^2\frac{x}{3} - 7\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 0$. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени.Проверим, является ли $\cos\frac{x}{3} = 0$ решением. Если $\cos\frac{x}{3} = 0$, то $\sin^2\frac{x}{3} = 1$. Подставив в уравнение, получим $3(1) + 2(0) - 0 = 0$, что приводит к неверному равенству $3 = 0$. Значит, $\cos\frac{x}{3} \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{3}$:$3\frac{\sin^2\frac{x}{3}}{\cos^2\frac{x}{3}} + 2\frac{\cos^2\frac{x}{3}}{\cos^2\frac{x}{3}} - 7\frac{\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}}{\cos^2\frac{x}{3}} = 0$.$3\tan^2\frac{x}{3} + 2 - 7\tan\frac{x}{3} = 0$.Перепишем уравнение в стандартном виде $3\tan^2\frac{x}{3} - 7\tan\frac{x}{3} + 2 = 0$ и сделаем замену $t = \tan\frac{x}{3}$:$3t^2 - 7t + 2 = 0$.Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.Корни уравнения: $t_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.Выполним обратную замену:1) $\tan\frac{x}{3} = \frac{1}{3} \implies \frac{x}{3} = \arctan\frac{1}{3} + \pi k \implies x = 3\arctan\frac{1}{3} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.2) $\tan\frac{x}{3} = 2 \implies \frac{x}{3} = \arctan 2 + \pi n \implies x = 3\arctan 2 + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $3\arctan\frac{1}{3} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $3\arctan 2 + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $2\cos^2(3x) + \sin^2(3x) - 3\sin(3x)\cos(3x) = 0$.Перепишем его, сгруппировав члены: $\sin^2(3x) - 3\sin(3x)\cos(3x) + 2\cos^2(3x) = 0$.Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $\cos(3x) \neq 0$. Если $\cos(3x) = 0$, то $\sin^2(3x) = 1$. Уравнение принимает вид $1 - 0 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, можно разделить обе части на $\cos^2(3x)$:$\frac{\sin^2(3x)}{\cos^2(3x)} - 3\frac{\sin(3x)\cos(3x)}{\cos^2(3x)} + 2\frac{\cos^2(3x)}{\cos^2(3x)} = 0$.$\tan^2(3x) - 3\tan(3x) + 2 = 0$.Пусть $t = \tan(3x)$. Получаем квадратное уравнение:$t^2 - 3t + 2 = 0$.По теореме Виета, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.Выполним обратную замену:1) $\tan(3x) = 1 \implies 3x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.2) $\tan(3x) = 2 \implies 3x = \arctan 2 + \pi n \implies x = \frac{1}{3}\arctan 2 + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $\frac{1}{3}\arctan 2 + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.