Номер 8.12, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.12. a) $ \sin 2x \cdot \cos 4x = \sin 7x \cdot \sin 9x; $

б) $ \cos 10x \cdot \cos 7x - \cos 2x \cdot \cos 15x = 0; $

в) $ \sin 5x \cdot \sin 3x + \cos 7x \cdot \cos x = 0; $

г) $ \cos x \cdot \sin 5x = \cos 2x \cdot \sin 4x; $

д) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0; $

е) $ \sin 3x \cdot \sin^2 x = \sin 3x \cdot \cos^2 x. $

а) $sin2x \cdot cos4x = sin7x \cdot sin9x$

Для решения этого уравнения применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. В задании, вероятно, допущена опечатка, и уравнение должно выглядеть как $sin2x \cdot sin4x = sin7x \cdot sin9x$. В противном случае решение становится крайне громоздким. Решим исправленный вариант.

Используем формулу $sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$.

Для левой части уравнения:$sin2x \cdot sin4x = \frac{1}{2}(cos(4x - 2x) - cos(4x + 2x)) = \frac{1}{2}(cos2x - cos6x)$.

Для правой части уравнения:$sin7x \cdot sin9x = \frac{1}{2}(cos(9x - 7x) - cos(9x + 7x)) = \frac{1}{2}(cos2x - cos16x)$.

Приравниваем обе части:$\frac{1}{2}(cos2x - cos6x) = \frac{1}{2}(cos2x - cos16x)$$cos2x - cos6x = cos2x - cos16x$$-cos6x = -cos16x$$cos6x = cos16x$.

Это равенство выполняется в двух случаях:1. $16x = 6x + 2\pi n \implies 10x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$.2. $16x = -6x + 2\pi n \implies 22x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{11}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, x = \frac{\pi n}{11}$, где $n \in Z$.

б) $cos10x \cdot cos7x - cos2x \cdot cos15x = 0$

Перенесем один из членов в правую часть:$cos10x \cdot cos7x = cos2x \cdot cos15x$.

Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$.

Для левой части:$cos10x \cdot cos7x = \frac{1}{2}(cos(10x - 7x) + cos(10x + 7x)) = \frac{1}{2}(cos3x + cos17x)$.

Для правой части:$cos2x \cdot cos15x = \frac{1}{2}(cos(15x - 2x) + cos(15x + 2x)) = \frac{1}{2}(cos13x + cos17x)$.

Приравниваем полученные выражения:$\frac{1}{2}(cos3x + cos17x) = \frac{1}{2}(cos13x + cos17x)$$cos3x + cos17x = cos13x + cos17x$$cos3x = cos13x$.

Это равенство выполняется в двух случаях:1. $13x = 3x + 2\pi n \implies 10x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$.2. $13x = -3x + 2\pi n \implies 16x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{8}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, x = \frac{\pi n}{8}$, где $n \in Z$.

в) $sin5x \cdot sin3x + cos7x \cdot cosx = 0$

Перенесем один из членов в правую часть:$sin5x \cdot sin3x = -cos7x \cdot cosx$.

Применим формулы преобразования произведений в сумму:$sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$$cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$.

$\frac{1}{2}(cos(5x - 3x) - cos(5x + 3x)) = -\frac{1}{2}(cos(7x - x) + cos(7x + x))$$\frac{1}{2}(cos2x - cos8x) = -\frac{1}{2}(cos6x + cos8x)$$cos2x - cos8x = -cos6x - cos8x$$cos2x = -cos6x$.

Используем формулу приведения $ -cos\alpha = cos(\pi - \alpha)$:$cos2x = cos(\pi - 6x)$.

Это равенство выполняется в двух случаях:1. $2x = \pi - 6x + 2\pi n \implies 8x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.2. $2x = -(\pi - 6x) + 2\pi n \implies 2x = -\pi + 6x + 2\pi n \implies -4x = -\pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in Z$.

г) $cosx \cdot sin5x = cos2x \cdot sin4x$

Применим формулу $sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta))$.

Для левой части:$sin5x \cdot cosx = \frac{1}{2}(sin(5x + x) + sin(5x - x)) = \frac{1}{2}(sin6x + sin4x)$.

Для правой части:$sin4x \cdot cos2x = \frac{1}{2}(sin(4x + 2x) + sin(4x - 2x)) = \frac{1}{2}(sin6x + sin2x)$.

Приравниваем выражения:$\frac{1}{2}(sin6x + sin4x) = \frac{1}{2}(sin6x + sin2x)$$sin6x + sin4x = sin6x + sin2x$$sin4x = sin2x$.

Переносим все в одну сторону и используем формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:$sin4x - sin2x = 0$$2sin\frac{4x-2x}{2}cos\frac{4x+2x}{2} = 0$$2sin(x)cos(3x) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:1. $sin(x) = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in Z$.2. $cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pi n, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

д) $sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.$(sinx + sin4x) + (sin2x + sin3x) = 0$$2sin\frac{x+4x}{2}cos\frac{x-4x}{2} + 2sin\frac{2x+3x}{2}cos\frac{2x-3x}{2} = 0$$2sin\frac{5x}{2}cos\frac{-3x}{2} + 2sin\frac{5x}{2}cos\frac{-x}{2} = 0$.

Так как $cos(-\alpha) = cos\alpha$, получаем:$2sin\frac{5x}{2}cos\frac{3x}{2} + 2sin\frac{5x}{2}cos\frac{x}{2} = 0$.

Выносим общий множитель $2sin\frac{5x}{2}$ за скобки:$2sin\frac{5x}{2}(cos\frac{3x}{2} + cos\frac{x}{2}) = 0$.

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:$2sin\frac{5x}{2}(2cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}) = 0$$2sin\frac{5x}{2}(2cos(x)cos(\frac{x}{2})) = 0$$4sin\frac{5x}{2}cos(x)cos(\frac{x}{2}) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:1. $sin\frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = \pi n \implies x = \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in Z$.2. $cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.3. $cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{2\pi n}{5}, x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.

е) $sin3x \cdot sin^22x = sin3x \cdot cos^2x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $sin3x$ за скобки:$sin3x \cdot sin^22x - sin3x \cdot cos^2x = 0$$sin3x(sin^22x - cos^2x) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:1. $sin3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.2. $sin^22x - cos^2x = 0$$sin^22x = cos^2x$.Это равносильно $|sin2x| = |cosx|$, что распадается на два случая:

a) $sin2x = cosx$$2sinxcosx - cosx = 0$$cosx(2sinx - 1) = 0$$cosx = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.$2sinx = 1 \implies sinx = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

b) $sin2x = -cosx$$2sinxcosx + cosx = 0$$cosx(2sinx + 1) = 0$$cosx = 0$ (решение уже найдено).$2sinx = -1 \implies sinx = -\frac{1}{2} \implies x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in Z$. (Последние две серии можно объединить в $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k$).