Номер 8.8, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.8. а) $4\sin^2x - 2\sin x \cdot \cos x = 3;$

б) $\cos^2x - \sin^2x = 2\cos x - 1.$

а) $4\sin^2 x - 2\sin x \cdot \cos x = 3$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Чтобы его решить, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и представим число 3 в виде $3 \cdot 1 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x - 3\cos^2 x = 0$

Приведем подобные члены:

$\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

Проверим, не являются ли решения вида $\cos x = 0$ корнями уравнения. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем $1 - 2 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 1 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$

Введем замену $t = \tan x$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим его по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1. $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos x - 1$

Для решения данного уравнения приведем его к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos x - 1$

Раскроем скобки:

$\cos^2 x - 1 + \cos^2 x = 2\cos x - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$2\cos^2 x - 1 = 2\cos x - 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$2\cos^2 x - 2\cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x (\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1. $2\cos x = 0 \implies \cos x = 0$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.

Решением этого уравнения является $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.