Номер 8.1, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (8.1–8.4):

8.1. a) $2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0$;

б) $2\cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$;

в) $2\sin^2x + \sin x - 1 = 0$;

г) $6\operatorname{tg}^2x + \operatorname{tg}x - 1 = 0$.

а) $2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, причем $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид: $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.

1) $\cos x = 1$

Это частный случай, решение которого: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1}{2}$

Общее решение: $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

Получаем уравнение: $2t^2 - 2t - 1 = 0$.

Найдем корни с помощью формулы для квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$. Тогда $\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$t_2 = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $|t| \le 1$.

Для $t_1$: $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому $t_1 \approx \frac{1 - 1.732}{2} = -0.366$. Так как $-1 \le -0.366 \le 1$, этот корень подходит.

Для $t_2$: $t_2 \approx \frac{1 + 1.732}{2} = 1.366$. Так как $1.366 > 1$, этот корень не является решением для $\cos x$.

Следовательно, решаем только уравнение $\cos x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$.

Решение: $x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2\sin^2x + \sin x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

Уравнение становится: $2t^2 + t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. $\sqrt{D} = 3$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к переменной $x$.

1) $\sin x = -1$

Решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = \frac{1}{2}$

Решение: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $6\tan^2x + \tan x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Область допустимых значений для $x$ - все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t = \tan x$. Для переменной $t$ нет ограничений.

Уравнение: $6t^2 + t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$. $\sqrt{D} = 5$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-1 - 5}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Оба корня действительны. Возвращаемся к переменной $x$.

1) $\tan x = -\frac{1}{2}$

Решение: $x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{1}{3}$

Решение: $x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Найденные решения не совпадают с $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, поэтому они входят в область допустимых значений.

Ответ: $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.